Номер 51, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

51. Найдите объем наклонной призмы, основанием которой является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в $60^{\circ}$.

51.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы. Решение задачи состоит из двух шагов: нахождение площади основания и нахождение высоты призмы.

Нахождение площади основания ($S_{осн}$).

В основании призмы лежит равнобедренный треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см. Для нахождения его площади можно использовать формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь подставим все значения в формулу Герона для вычисления площади:

$S_{осн} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$ см².

Нахождение высоты призмы ($H$).

Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l$ и углом $\alpha$, который это ребро образует с плоскостью основания, следующим соотношением:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Из условия задачи известно, что длина бокового ребра $l = 8$ см, а угол наклона $\alpha = 60°$.

Вычислим высоту призмы:

$H = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычисление объема призмы ($V$).

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 48 \cdot 4\sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см³.