Номер 53, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

ШЕСТНАДЦАТАЯ ПРОИЗВОЛЬНАЯ ЧАСТЬ ПРИМЫ.

53. Основанием призмы является вписанный в окружность с радиусом 4 см равнобедренный треугольник с углом в 30° при основании. Найдите объем призмы, учитывая, что ее высота равна боковой стороне основания.

Пусть основанием призмы является равнобедренный треугольник ABC, вписанный в окружность. По условию, углы при основании равны $30°$. Пусть AC - основание треугольника, тогда $\angle BAC = \angle BCA = 30°$. Боковыми сторонами являются AB и BC.

Найдем угол при вершине B. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, следовательно:$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (30° + 30°) = 120°$.

Треугольник вписан в окружность с радиусом $R = 4$ см. Используем следствие из теоремы синусов, чтобы найти стороны треугольника: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.

Найдем длину боковой стороны $l = AB = BC$, которая лежит напротив угла в $30°$:$l = 2R \sin(30°) = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Согласно условию, высота призмы $H$ равна ее боковой стороне основания. Таким образом, $H = l = 4$ см.

Для нахождения объема призмы $V$ необходимо вычислить площадь ее основания $S_{осн}$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$. Площадь треугольника можно найти, зная две стороны и угол между ними:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(120°)$

Поскольку $\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, площадь основания равна:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см².

Теперь вычислим объем призмы:$V = S_{осн} \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см³.