Номер 54, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

54. Основанием призмы $KLMK_1L_1M_1$ является равносторонний треугольник $KLM$ со стороной $l$. Вершина $K_1$ проектируется в центр этого основания, а ребро $KK_1$ составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Найдите объем призмы.

Для нахождения объема призмы $V$ воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $H$ — ее высота.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является равносторонний треугольник $KLM$ со стороной $l$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. В нашем случае $a=l$, поэтому площадь основания:

$S_{осн} = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.

Согласно условию, вершина $K_1$ верхнего основания проектируется в центр $O$ нижнего основания $KLM$. Это значит, что отрезок $K_1O$ перпендикулярен плоскости основания, и его длина является высотой призмы: $H = |K_1O|$.

Боковое ребро $KK_1$ образует с плоскостью основания угол $\phi$. Угол между прямой (ребром $KK_1$) и плоскостью (основанием $KLM$) — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $KK_1$ на плоскость $(KLM)$ является отрезок $KO$. Следовательно, $\angle K_1KO = \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle K_1KO$. Так как $K_1O$ — перпендикуляр к плоскости $(KLM)$, то $\triangle K_1KO$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle K_1OK$.

Из этого треугольника мы можем выразить высоту $H$ через катет $KO$ и угол $\phi$:

$\tan(\phi) = \frac{|K_1O|}{|KO|} = \frac{H}{|KO|}$

$H = |KO| \cdot \tan(\phi)$

Длина отрезка $KO$ — это расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра. Это расстояние равно радиусу $R$ описанной около треугольника окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $l$ радиус описанной окружности вычисляется как $R = \frac{l}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, $|KO| = \frac{l}{\sqrt{3}}$.

Подставим это значение в формулу для высоты:

$H = \frac{l}{\sqrt{3}} \cdot \tan(\phi)$

3. Вычислим объем призмы.

Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{l^2 \sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(\frac{l}{\sqrt{3}} \tan(\phi)\right)$

Сократим множитель $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{l^2 \cdot l \cdot \tan(\phi)}{4} = \frac{l^3 \tan(\phi)}{4}$

Ответ: $V = \frac{l^3 \tan(\phi)}{4}$