Номер 61, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

61. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и $3\sqrt{2}$ см, а острый угол между ними — $45^\circ$. Найдите объем параллелепипеда,

учитывая, что его меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$.

Объем прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда. Решим задачу в несколько шагов.

1. Найдем площадь основания

Основанием параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 7$ см, $b = 3\sqrt{2}$ см и острым углом между ними $\alpha = 45^\circ$. Площадь параллелограмма находится по формуле:

$$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$

Подставим в формулу известные значения:

$$S_{осн} = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получим:

$$S_{осн} = 21\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 21 \cdot \frac{2}{2} = 21 \text{ см}^2$$

2. Найдем высоту параллелепипеда

Меньшая диагональ параллелепипеда ($D_{м}$), его высота ($h$) и меньшая диагональ основания ($d_{м}$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота $h$ и диагональ основания $d_{м}$ являются катетами. Угол между диагональю параллелепипеда $D_{м}$ и плоскостью основания по условию равен $45^\circ$.

Сначала вычислим длину меньшей диагонали основания $d_{м}$. В параллелограмме меньшая диагональ лежит напротив острого угла. Применим теорему косинусов:

$$d_{м}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$$

Подставим значения сторон и угла:

$$d_{м}^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получим:

$$d_{м}^2 = 49 + 18 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 67 - 42 \cdot \frac{2}{2} = 67 - 42 = 25$$

Отсюда находим длину меньшей диагонали основания:

$$d_{м} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный $h$, $d_{м}$ и $D_{м}$. Тангенс угла в $45^\circ$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($d_{м}$):

$$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d_{м}}$$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = d_{м}$. Таким образом, высота параллелепипеда равна:

$$h = 5 \text{ см}$$

3. Найдем объем параллелепипеда

Зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем:

$$V = S_{осн} \cdot h = 21 \cdot 5 = 105 \text{ см}^3$$

Ответ: $105 \text{ см}^3$.