Номер 66, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

66. Найдите объем наклонной треугольной призмы, площади боковых граней которой пропорциональны числам 20, 37 и 51, ее боковое ребро равно $0.5 \text{ дм}$, а боковая поверхность — $10.8 \text{ дм}^2$.

Для нахождения объема наклонной призмы воспользуемся формулой $V = S_{перп} \cdot l$, где $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина бокового ребра. Перпендикулярное сечение — это сечение, проведенное перпендикулярно боковым ребрам призмы.

По условию, нам даны:

• Пропорциональность площадей боковых граней $S_1, S_2, S_3$: $S_1 : S_2 : S_3 = 20 : 37 : 51$.
• Длина бокового ребра $l = 0,5$ дм.
• Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 10,8$ дм².

Решение задачи можно разбить на следующие шаги:

1. Нахождение площадей боковых граней

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда площади боковых граней можно выразить как $S_1 = 20k$, $S_2 = 37k$ и $S_3 = 51k$.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей ее боковых граней:

$S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 20k + 37k + 51k = 108k$

Зная, что $S_{бок} = 10,8$ дм², найдем коэффициент $k$:

$108k = 10,8$

$k = \frac{10,8}{108} = 0,1$

Теперь можем вычислить площади каждой боковой грани:

$S_1 = 20 \cdot 0,1 = 2$ дм²

$S_2 = 37 \cdot 0,1 = 3,7$ дм²

$S_3 = 51 \cdot 0,1 = 5,1$ дм²

2. Нахождение сторон перпендикулярного сечения

В наклонной призме перпендикулярное сечение является треугольником. Площадь каждой боковой грани (которая является параллелограммом) равна произведению стороны перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Обозначим стороны треугольника перпендикулярного сечения как $a_{перп}$, $b_{перп}$ и $c_{перп}$.

$S_1 = a_{перп} \cdot l \implies a_{перп} = \frac{S_1}{l} = \frac{2}{0,5} = 4$ дм

$S_2 = b_{перп} \cdot l \implies b_{перп} = \frac{S_2}{l} = \frac{3,7}{0,5} = 7,4$ дм

$S_3 = c_{перп} \cdot l \implies c_{перп} = \frac{S_3}{l} = \frac{5,1}{0,5} = 10,2$ дм

3. Нахождение площади перпендикулярного сечения

Теперь у нас есть треугольник со сторонами $a_{перп} = 4$ дм, $b_{перп} = 7,4$ дм, $c_{перп} = 10,2$ дм. Найдем его площадь $S_{перп}$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a_{перп} + b_{перп} + c_{перп}}{2} = \frac{4 + 7,4 + 10,2}{2} = \frac{21,6}{2} = 10,8$ дм

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S_{перп} = \sqrt{10,8 \cdot (10,8 - 4) \cdot (10,8 - 7,4) \cdot (10,8 - 10,2)}$

$S_{перп} = \sqrt{10,8 \cdot 6,8 \cdot 3,4 \cdot 0,6}$

$S_{перп} = \sqrt{149,8176} = 12,24$ дм²

4. Нахождение объема призмы

Наконец, вычислим объем призмы, умножив площадь перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$V = S_{перп} \cdot l = 12,24 \text{ дм}^2 \cdot 0,5 \text{ дм} = 6,12 \text{ дм}^3$

Ответ: объем наклонной треугольной призмы равен $6,12 \text{ дм}^3$.