Номер 62, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

62. Диагонали $BD_1$ и $A_1C$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вза-имно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, а ребро $AB$ равно 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — заданный прямой параллелепипед. Это означает, что его боковые ребра перпендикулярны основаниям ($AA_1 \perp ABCD$), а основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются параллелограммами.

Обозначим измерения параллелепипеда: $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = h$. По условию, ребро $a = AB = 3$ см. Диагонали $BD_1$ и $A_1C$ взаимно перпендикулярны, и их длины равны $BD_1 = 6$ см и $A_1C = 8$ см.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $A$. Пусть векторы, соответствующие ребрам, выходящим из точки $A$, будут $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Выразим векторы диагоналей $BD_1$ и $A_1C$ через базисные векторы:
$\vec{BD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AB} = (\vec{AD} + \vec{AA_1}) - \vec{AB} = \vec{AD} + \vec{AA_1} - \vec{AB}$
$\vec{A_1C} = \vec{AC} - \vec{AA_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}$

По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{BD_1} \cdot \vec{A_1C} = 0$
$(\vec{AD} + \vec{AA_1} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}) = 0$

Перегруппируем слагаемые для удобства:
$(\vec{AD} - (\vec{AB} - \vec{AA_1})) \cdot (\vec{AD} + (\vec{AB} - \vec{AA_1})) = 0$
Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, получаем:
$|\vec{AD}|^2 - |\vec{AB} - \vec{AA_1}|^2 = 0$
$|\vec{AD}|^2 = |\vec{AB} - \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AB} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AB} - \vec{AA_1}) = |\vec{AB}|^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AA_1} + |\vec{AA_1}|^2$

Так как параллелепипед прямой, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, а значит, и ребру $AB$. Следовательно, $\vec{AB} \perp \vec{AA_1}$ и их скалярное произведение $\vec{AB}\cdot\vec{AA_1} = 0$.
Тогда равенство принимает вид:
$|\vec{AD}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$
В наших обозначениях: $b^2 = a^2 + h^2$.

Теперь используем длины диагоналей. Найдем квадраты их длин:
$BD_1^2 = |\vec{AD} + \vec{AA_1} - \vec{AB}|^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2 + |\vec{AB}|^2 + 2\vec{AD}\cdot\vec{AA_1} - 2\vec{AD}\cdot\vec{AB} - 2\vec{AA_1}\cdot\vec{AB}$
$A_1C^2 = |\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AA_1}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2 + 2\vec{AB}\cdot\vec{AD} - 2\vec{AB}\cdot\vec{AA_1} - 2\vec{AD}\cdot\vec{AA_1}$

Поскольку параллелепипед прямой, $\vec{AD}\cdot\vec{AA_1}=0$ и $\vec{AB}\cdot\vec{AA_1}=0$. Уравнения упрощаются:
$BD_1^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AD}$
$A_1C^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2 + 2\vec{AB}\cdot\vec{AD}$

Подставим известные значения $BD_1=6$, $A_1C=8$ и обозначения $a, b, h$:
$6^2 = 36 = a^2 + b^2 + h^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AD}$
$8^2 = 64 = a^2 + b^2 + h^2 + 2\vec{AB}\cdot\vec{AD}$

Получили систему двух уравнений. Сложим их:
$36 + 64 = 2(a^2 + b^2 + h^2)$
$100 = 2(a^2 + b^2 + h^2) \implies a^2 + b^2 + h^2 = 50$

Теперь используем выведенное ранее соотношение $b^2 = a^2 + h^2$. Подставим его в полученное уравнение:
$a^2 + (a^2 + h^2) + h^2 = 50$
$2a^2 + 2h^2 = 50 \implies a^2 + h^2 = 25$

По условию $a=3$, значит $a^2=9$.
$9 + h^2 = 25 \implies h^2 = 16 \implies h = 4$ см.

Теперь найдем $b$. Так как $b^2 = a^2 + h^2$, то $b^2 = 25$, и $b = 5$ см.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{ABCD} \cdot h$.
Площадь основания (параллелограмма $ABCD$) можно найти по формуле $S_{ABCD} = \sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AD}|^2 - (\vec{AB}\cdot\vec{AD})^2}$.
Найдем скалярное произведение $\vec{AB}\cdot\vec{AD}$ из нашей системы. Вычтем первое уравнение из второго:
$64 - 36 = (a^2 + b^2 + h^2 + 2\vec{AB}\cdot\vec{AD}) - (a^2 + b^2 + h^2 - 2\vec{AB}\cdot\vec{AD})$
$28 = 4\vec{AB}\cdot\vec{AD} \implies \vec{AB}\cdot\vec{AD} = 7$.

Теперь вычисляем площадь основания:
$S_{ABCD}^2 = a^2 b^2 - (\vec{AB}\cdot\vec{AD})^2 = 3^2 \cdot 5^2 - 7^2 = 9 \cdot 25 - 49 = 225 - 49 = 176$.
$S_{ABCD} = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$ см$^2$.

Наконец, находим объем параллелепипеда:
$V = S_{ABCD} \cdot h = 4\sqrt{11} \cdot 4 = 16\sqrt{11}$ см$^3$.

Ответ: $16\sqrt{11}$ см$^3$.