Номер 64, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

64. Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани и расстояния от этой грани до параллельного ей ребра.

Рассмотрим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Пусть её объём равен $V$. Выберем любую её боковую грань, например, $ACC_1A_1$. Обозначим её площадь как $S_{ACC_1A_1}$. Боковое ребро, параллельное этой грани, — это ребро $BB_1$. Пусть $d$ — расстояние от ребра $BB_1$ до плоскости грани $ACC_1A_1$. Нам нужно доказать, что объём призмы вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{2} \cdot S_{ACC_1A_1} \cdot d$

Доказательство:

Для доказательства достроим нашу треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ до параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для этого в плоскости основания $ABC$ построим точку $D$ так, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Объём $V$ исходной треугольной призмы равен половине объёма $V_{пар}$ построенного параллелепипеда. Это следует из того, что площадь её основания $\triangle ABC$ равна половине площади основания параллелепипеда ($S_{ABCD} = 2 S_{ABC}$), а их высоты, опущенные на эти основания, совпадают. Таким образом,

$V = \frac{1}{2} V_{пар}$

Объём параллелепипеда можно найти как произведение площади его грани на высоту, проведённую к этой грани (то есть на расстояние до параллельной грани). Возьмём в качестве такой грани $ACC_1A_1$ нашего параллелепипеда. Её площадь равна $S_{ACC_1A_1}$. Параллельной ей гранью в параллелепипеде будет грань $BDD_1B_1$.

Расстояние между параллельными плоскостями граней $(ACC_1A_1)$ и $(BDD_1B_1)$ по определению является высотой параллелепипеда относительно этих граней. Так как ребро $BB_1$ целиком лежит в плоскости $(BDD_1B_1)$, то это расстояние равно расстоянию от любой точки ребра $BB_1$ до плоскости $(ACC_1A_1)$, то есть по условию задачи оно равно $d$.

Следовательно, объём параллелепипеда $V_{пар}$ можно выразить как:

$V_{пар} = S_{ACC_1A_1} \cdot d$

Теперь подставим это выражение в формулу для объёма треугольной призмы:

$V = \frac{1}{2} V_{пар} = \frac{1}{2} \cdot S_{ACC_1A_1} \cdot d$

Так как грань $ACC_1A_1$ и параллельное ей ребро $BB_1$ были выбраны произвольно, данное утверждение справедливо для любой боковой грани треугольной призмы и параллельного ей ребра.

Ответ: Что и требовалось доказать.