Номер 70, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

70. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с площадью $S_0$ (рис. 30). Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что его диагональные сечения имеют площади $S_1$ и $S_2$.

Рис. 30

Пусть основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота параллелепипеда равна $h$.

Объем $V$ прямого параллелепипеда вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

По условию, площадь основания (ромба) равна $S_0$. Площадь ромба также можно выразить через его диагонали:

$S_0 = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Параллелепипед является прямым, это означает, что его боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, диагональные сечения этого параллелепипеда являются прямоугольниками.

Первое диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами, равными диагонали ромба $d_1$ и высоте параллелепипеда $h$. Его площадь, согласно условию, равна $S_1$:

$S_1 = d_1 \cdot h$

Второе диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами, равными другой диагонали ромба $d_2$ и высоте $h$. Его площадь равна $S_2$:

$S_2 = d_2 \cdot h$

Мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($d_1, d_2, h$):

$S_0 = \frac{1}{2} d_1 d_2$

$S_1 = d_1 h$

$S_2 = d_2 h$

Цель — найти объем $V = S_0 \cdot h$, выразив его через $S_0, S_1, S_2$.

Из второго и третьего уравнений выразим $d_1$ и $d_2$:

$d_1 = \frac{S_1}{h}$

$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Подставим эти выражения в первое уравнение для площади ромба:

$S_0 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{S_1}{h}\right) \cdot \left(\frac{S_2}{h}\right)$

$S_0 = \frac{S_1 S_2}{2h^2}$

Теперь выразим из этого уравнения $h^2$:

$2h^2 S_0 = S_1 S_2$

$h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S_0}$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S_0}}$

Наконец, подставим найденную высоту в формулу для объема параллелепипеда $V = S_0 \cdot h$:

$V = S_0 \cdot \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S_0}}$

Чтобы упростить выражение, внесем $S_0$ под знак корня, представив его как $\sqrt{S_0^2}$:

$V = \sqrt{S_0^2 \cdot \frac{S_1 S_2}{2S_0}} = \sqrt{\frac{S_0^2 S_1 S_2}{2S_0}}$

Сократив $S_0$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения, получаем окончательную формулу:

$V = \sqrt{\frac{S_0 S_1 S_2}{2}}$

Ответ: $V = \sqrt{\frac{S_0 S_1 S_2}{2}}$.