Номер 63, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

63. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен $3 \text{ м}^3$, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней — $3 \text{ м}^2$ и $3 \sqrt{5} \text{ м}^2$. Найдите длины ребер призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Высота призмы равна $h$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь прямоугольного треугольника в основании равна $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$. Таким образом, объем призмы: $V = \frac{1}{2}abh$. По условию, $V = 3 \text{ м}^3$, следовательно, мы имеем первое уравнение:$\frac{1}{2}abh = 3 \implies abh = 6$.

Боковые грани прямой призмы — это прямоугольники. Их площади равны произведениям сторон основания на высоту призмы: $S_1 = ah$, $S_2 = bh$, $S_3 = ch$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c$ является самой длинной стороной ($c > a$ и $c > b$). Следовательно, боковая грань с площадью $ch$ является наибольшей. Наименьшей стороной будет один из катетов. Допустим, это катет $a$. Тогда грань с площадью $ah$ будет наименьшей. По условию, наименьшая площадь боковой грани равна $3 \text{ м}^2$, а наибольшая — $3\sqrt{5} \text{ м}^2$. Отсюда получаем еще два уравнения:$ah = 3$$ch = 3\sqrt{5}$

Также для прямоугольного треугольника в основании справедлива теорема Пифагора:$a^2 + b^2 = c^2$.

Итак, мы получили систему из четырех уравнений:1. $abh = 6$2. $ah = 3$3. $ch = 3\sqrt{5}$4. $a^2 + b^2 = c^2$

Решим эту систему. Разделим уравнение (1) на уравнение (2):$\frac{abh}{ah} = \frac{6}{3} \implies b = 2$.

Теперь выразим $a$ и $c$ из уравнений (2) и (3) через $h$:$a = \frac{3}{h}$$c = \frac{3\sqrt{5}}{h}$

Подставим выражения для $a$, $b$ и $c$ в уравнение теоремы Пифагора (4):$(\frac{3}{h})^2 + 2^2 = (\frac{3\sqrt{5}}{h})^2$$\frac{9}{h^2} + 4 = \frac{9 \cdot 5}{h^2}$$\frac{9}{h^2} + 4 = \frac{45}{h^2}$

Умножим обе части уравнения на $h^2$ (так как $h>0$, то $h^2 \neq 0$):$9 + 4h^2 = 45$$4h^2 = 45 - 9$$4h^2 = 36$$h^2 = 9$$h = 3$ (высота не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины сторон основания $a$ и $c$:$a = \frac{3}{h} = \frac{3}{3} = 1$.$c = \frac{3\sqrt{5}}{h} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$.

Таким образом, мы нашли длины всех ребер призмы:

• Длины ребер основания (стороны треугольника): $a=1 \text{ м}$, $b=2 \text{ м}$, $c=\sqrt{5} \text{ м}$.
• Длины боковых ребер (высота призмы): $h=3 \text{ м}$.

Проверим наше допущение, что $a$ — наименьший катет. Мы получили $a=1$ и $b=2$, так что $a < b$, и допущение было верным.

Ответ: длины ребер основания призмы равны $1 \text{ м}$, $2 \text{ м}$ и $\sqrt{5} \text{ м}$; длины боковых ребер равны $3 \text{ м}$.