Номер 65, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

65. На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть заданы три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. Пусть $\vec{u}$ — это единичный направляющий вектор этих прямых.

На этих прямых отложены три равных отрезка $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, которые являются боковыми ребрами призмы $ABCA_1B_1C_1$. По условию, их длины равны, обозначим эту длину как $L$. Поскольку ребра параллельны, их можно представить в виде векторов: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = L\vec{u}$.

Объем треугольной призмы равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах, выходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. Таким образом, объем призмы $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}|$

Теперь рассмотрим, что произойдет, если сдвинуть отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ вдоль своих прямых. Это эквивалентно сдвигу вершин призмы на некоторые векторы, коллинеарные вектору $\vec{u}$. Пусть исходное положение вершин основания это точки $A, B, C$. Новые положения вершин $A', B', C'$ после смещения отрезков на величины $s_A, s_B, s_C$ вдоль их прямых можно описать с помощью радиус-векторов:

$\vec{r_{A'}} = \vec{r_A} + s_A\vec{u}$

$\vec{r_{B'}} = \vec{r_B} + s_B\vec{u}$

$\vec{r_{C'}} = \vec{r_C} + s_C\vec{u}$

Найдем векторы, образующие новую призму $A'B'C'A'_1B'_1C'_1$:

1. Векторы, образующие основание $A'B'C'$:

$\vec{A'B'} = \vec{r_{B'}} - \vec{r_{A'}} = (\vec{r_B} + s_B\vec{u}) - (\vec{r_A} + s_A\vec{u}) = (\vec{r_B} - \vec{r_A}) + (s_B - s_A)\vec{u} = \vec{AB} + (s_B - s_A)\vec{u}$

$\vec{A'C'} = \vec{r_{C'}} - \vec{r_{A'}} = (\vec{r_C} + s_C\vec{u}) - (\vec{r_A} + s_A\vec{u}) = (\vec{r_C} - \vec{r_A}) + (s_C - s_A)\vec{u} = \vec{AC} + (s_C - s_A)\vec{u}$

2. Вектор бокового ребра $\vec{A'A'_1}$:

Конечные точки ребер также смещаются: $\vec{r_{A'_1}} = \vec{r_{A_1}} + s_A\vec{u}$.

$\vec{A'A'_1} = \vec{r_{A'_1}} - \vec{r_{A'}} = (\vec{r_{A_1}} + s_A\vec{u}) - (\vec{r_A} + s_A\vec{u}) = \vec{r_{A_1}} - \vec{r_A} = \vec{AA_1}$

Вектор бокового ребра не изменился при смещении.

Теперь вычислим объем новой призмы $V'$, используя те же принципы:

$V' = \frac{1}{2} |(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{A'A'_1}|$

Подставим полученные выражения для векторов:

$V' = \frac{1}{2} |((\vec{AB} + (s_B - s_A)\vec{u}) \times (\vec{AC} + (s_C - s_A)\vec{u})) \cdot \vec{AA_1}|$

Раскроем векторное произведение, используя свойство дистрибутивности:

$(\vec{AB} + (s_B - s_A)\vec{u}) \times (\vec{AC} + (s_C - s_A)\vec{u}) = (\vec{AB} \times \vec{AC}) + (s_C-s_A)(\vec{AB} \times \vec{u}) + (s_B-s_A)(\vec{u} \times \vec{AC}) + (s_B-s_A)(s_C-s_A)(\vec{u} \times \vec{u})$

Последний член $(\vec{u} \times \vec{u})$ равен нулевому вектору, поэтому все выражение обращается в ноль.

Теперь найдем смешанное произведение, выполнив скалярное умножение на вектор $\vec{AA_1} = L\vec{u}$:

$(\dots) \cdot \vec{AA_1} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1} + (s_C-s_A)(\vec{AB} \times \vec{u}) \cdot (L\vec{u}) + (s_B-s_A)(\vec{u} \times \vec{AC}) \cdot (L\vec{u})$

Рассмотрим два последних слагаемых. По определению, векторное произведение $(\vec{v} \times \vec{u})$ является вектором, перпендикулярным как $\vec{v}$, так и $\vec{u}$. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. Следовательно:

$(\vec{AB} \times \vec{u}) \cdot (L\vec{u}) = 0$

$(\vec{u} \times \vec{AC}) \cdot (L\vec{u}) = 0$

Таким образом, все слагаемые, которые зависят от величин смещений $s_A, s_B, s_C$, обнулились. Смешанное произведение не изменило своего значения:

$(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{A'A'_1} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}$

Это означает, что объем новой призмы $V'$ равен объему исходной призмы $V$:

$V' = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}| = V$

Таким образом, объем призмы не зависит от положения отрезков на данных параллельных прямых.

Ответ: Что и требовалось доказать.