Номер 67, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

67. На рис. 29 показана деталь. Найдите площадь ее поверхности и объем, учитывая, что размеры даны в миллиметрах.

Рис. 29

Объем

Объем детали вычисляется как разность объемов большого внешнего прямоугольного параллелепипеда и малого внутреннего параллелепипеда (сквозного отверстия).

1. Найдем объем большого параллелепипеда ($V_1$). Его размеры:
Высота $h_1 = 500$ мм
Ширина $w_1 = 300$ мм
Глубина $d_1 = 50$ мм
Объем вычисляется по формуле $V = h \cdot w \cdot d$.
$V_1 = 500 \cdot 300 \cdot 50 = 7\ 500\ 000 \text{ мм}^3$.

2. Найдем объем внутреннего параллелепипеда (отверстия, $V_2$). Его размеры:
Высота $h_2 = 200$ мм
Ширина $w_2 = 300 - 100 - 100 = 100$ мм
Глубина $d_2 = 50$ мм (равна глубине детали)
$V_2 = 200 \cdot 100 \cdot 50 = 1\ 000\ 000 \text{ мм}^3$.

3. Найдем объем детали ($V$) как разность объемов $V_1$ и $V_2$.
$V = V_1 - V_2 = 7\ 500\ 000 - 1\ 000\ 000 = 6\ 500\ 000 \text{ мм}^3$.

Ответ: $6\ 500\ 000 \text{ мм}^3$.

Площадь ее поверхности

Площадь поверхности детали ($S$) равна площади поверхности большого параллелепипеда ($S_1$) минус площади двух прямоугольников на передней и задней гранях (вырезы, $S_{выр}$), плюс площадь внутренней поверхности отверстия ($S_{вн}$).

1. Найдем площадь полной поверхности большого параллелепипеда ($S_1$).
$S_1 = 2(h_1 w_1 + h_1 d_1 + w_1 d_1) = 2(500 \cdot 300 + 500 \cdot 50 + 300 \cdot 50)$
$S_1 = 2(150\ 000 + 25\ 000 + 15\ 000) = 2 \cdot 190\ 000 = 380\ 000 \text{ мм}^2$.

2. Найдем площадь, которую вырезали с передней и задней граней ($S_{выр}$).
Площадь одного выреза равна площади сечения отверстия: $h_2 \cdot w_2 = 200 \cdot 100 = 20\ 000 \text{ мм}^2$.
Поскольку отверстие сквозное, таких вырезов два: $S_{выр} = 2 \cdot 20\ 000 = 40\ 000 \text{ мм}^2$.

3. Найдем площадь внутренней поверхности отверстия ($S_{вн}$). Это боковая поверхность малого параллелепипеда.
Периметр сечения отверстия: $P_2 = 2(h_2 + w_2) = 2(200 + 100) = 600$ мм.
Площадь внутренней поверхности: $S_{вн} = P_2 \cdot d_2 = 600 \cdot 50 = 30\ 000 \text{ мм}^2$.

4. Найдем итоговую площадь поверхности детали.
$S = S_1 - S_{выр} + S_{вн} = 380\ 000 - 40\ 000 + 30\ 000 = 370\ 000 \text{ мм}^2$.

Ответ: $370\ 000 \text{ мм}^2$.