Номер 68, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

68. Основанием наклонной призмы $IJKI_1J_1K_1$ является прямоугольный треугольник $IJK$ с катетами $IJ$ и $IK$, соответственно равными 7 см и 24 см. Вершина $I_1$ равноудалена от вершин $I$, $J$ и $K$. Найдите объем призмы, учитывая, что ребро $II_1$ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
Основанием призмы является прямоугольный треугольник $IJK$ с катетами $IJ = 7$ см и $IK = 24$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{осн} = S_{\triangle IJK} = \frac{1}{2} \cdot IJ \cdot IK = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$ см$^2$.

2. Найдем высоту призмы.
Высота призмы $h$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $I_1$ на плоскость основания $(IJK)$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. Таким образом, $h = I_1O$.

По условию, вершина $I_1$ равноудалена от вершин $I, J$ и $K$. Это означает, что отрезки $I_1I$, $I_1J$ и $I_1K$ равны. Их проекции на плоскость основания $(IJK)$ — это отрезки $OI, OJ, OK$ — также будут равны. Следовательно, точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $IJK$.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу $JK$ по теореме Пифагора:$JK = \sqrt{IJ^2 + IK^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см.

Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы. Расстояние от центра $O$ до вершины $I$ равно этому радиусу:$IO = R = \frac{JK}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Угол между ребром $II_1$ и плоскостью основания — это угол между прямой $II_1$ и ее проекцией $IO$ на эту плоскость, то есть угол $\angle I_1IO$. По условию, $\angle I_1IO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle I_1OI$. Он прямоугольный, так как $I_1O$ — перпендикуляр к плоскости основания, а значит, и к любой прямой в этой плоскости, в том числе к $IO$. Таким образом, $\angle I_1OI = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle I_1OI$ один из острых углов равен $45^\circ$, следовательно, второй острый угол также равен $45^\circ$, и треугольник является равнобедренным. Его катеты равны:$h = I_1O = IO = 12.5$ см.

3. Найдем объем призмы.
Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 84 \cdot 12.5 = 84 \cdot \frac{25}{2} = 42 \cdot 25 = 1050$ см$^3$.

Ответ: $1050$ см$^3$.