Номер 60, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

60. У трех граней прямоугольного параллелепипеда диагонали, выходящие из одной вершины, равны 21 см, 24 см и 27 см. Найдите объем этого параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a, b, c$.

Три грани, сходящиеся в одной вершине, являются прямоугольниками со сторонами ($a, b$), ($a, c$) и ($b, c$). Диагонали этих граней, выходящие из той же вершины, являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках, образованных ребрами.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины диагонали грани равен сумме квадратов длин ребер, образующих эту грань. Обозначим данные длины диагоналей как $d_1, d_2, d_3$.

По условию задачи: $d_1 = 21$ см, $d_2 = 24$ см, $d_3 = 27$ см.

Составим систему уравнений, связывающую измерения параллелепипеда с диагоналями его граней:

$a^2 + b^2 = d_1^2 = 21^2 = 441$
$a^2 + c^2 = d_2^2 = 24^2 = 576$
$b^2 + c^2 = d_3^2 = 27^2 = 729$

Для решения этой системы относительно $a^2, b^2, c^2$ сложим все три уравнения:

$(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 441 + 576 + 729$
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 1746$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$a^2 + b^2 + c^2 = 873$

Теперь, вычитая из полученного уравнения каждое из исходных уравнений системы, мы можем найти квадраты каждого из измерений:

$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 873 - 441 = 432$
$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 873 - 576 = 297$
$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 873 - 729 = 144$

Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Для нахождения объема нам не обязательно вычислять сами длины ребер $a, b, c$. Мы можем найти квадрат объема $V^2$:

$V^2 = (a \cdot b \cdot c)^2 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2$

Подставим найденные значения для $a^2, b^2, c^2$:

$V^2 = 144 \cdot 297 \cdot 432$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти объем $V$:

$V = \sqrt{144 \cdot 297 \cdot 432}$

Разложим числа под корнем на множители для упрощения:

$297 = 9 \cdot 33$
$432 = 144 \cdot 3$

$V = \sqrt{144 \cdot (9 \cdot 33) \cdot (144 \cdot 3)} = \sqrt{144^2 \cdot 9 \cdot 33 \cdot 3} = \sqrt{144^2 \cdot 9 \cdot 99}$

$V = \sqrt{144^2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{144^2 \cdot 9^2 \cdot 11}$

$V = 144 \cdot 9 \cdot \sqrt{11} = 1296\sqrt{11}$

Ответ: Объем параллелепипеда равен $1296\sqrt{11}$ см$^3$.