Номер 56, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

56. Найдите объем наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$, учитывая, что $AB = BC = CA = a$, $ABB_1A_1$ — ромб, $AB_1 < BA_1$, $AB_1 = b$, а двугранный угол с ребром $AB$ прямой.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. По условию, $AB = BC = CA = a$, следовательно, треугольник $ABC$ — равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

По условию, двугранный угол при ребре $AB$ прямой. Это означает, что плоскость боковой грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Если одна плоскость (грань $ABB_1A_1$) перпендикулярна другой плоскости (основание $ABC$), то любой перпендикуляр, проведенный в одной плоскости (в $ABB_1A_1$) к их линии пересечения ($AB$), будет перпендикуляром ко второй плоскости (к $ABC$).

Следовательно, высота призмы $H$ равна высоте $h_{ромба}$ ромба $ABB_1A_1$, проведенной к стороне $AB$.

3. Расчет высоты ромба $ABB_1A_1$.

Боковая грань $ABB_1A_1$ — ромб. Так как $AB=a$ является стороной этого ромба, то все его стороны равны $a$: $AB = BB_1 = B_1A_1 = A_1A = a$.

В ромбе даны его сторона $a$ и диагональ $AB_1 = b$. Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Его стороны: $AB = a$, $BB_1 = a$, $AB_1 = b$.

Найдем угол ромба $\angle ABB_1$ по теореме косинусов для треугольника $ABB_1$:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BB_1 \cdot \cos(\angle ABB_1)$

$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\angle ABB_1)$

$b^2 = 2a^2 - 2a^2\cos(\angle ABB_1)$

$2a^2\cos(\angle ABB_1) = 2a^2 - b^2$

$\cos(\angle ABB_1) = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2}$

Условие $AB_1 < BA_1$ означает, что $AB_1$ - меньшая диагональ ромба, а значит угол $\angle ABB_1$ - острый. Для острого угла синус положителен.

Найдем синус этого угла:

$\sin^2(\angle ABB_1) = 1 - \cos^2(\angle ABB_1) = 1 - \left(\frac{2a^2 - b^2}{2a^2}\right)^2 = \frac{(2a^2)^2 - (2a^2 - b^2)^2}{(2a^2)^2}$

Используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем:

$\sin^2(\angle ABB_1) = \frac{(2a^2 - (2a^2 - b^2))(2a^2 + (2a^2 - b^2))}{4a^4} = \frac{b^2(4a^2 - b^2)}{4a^4}$

$\sin(\angle ABB_1) = \frac{\sqrt{b^2(4a^2 - b^2)}}{2a^2} = \frac{b\sqrt{4a^2 - b^2}}{2a^2}$

Высота ромба $h_{ромба}$, проведенная из вершины $B_1$ к стороне $AB$, равна $BB_1 \cdot \sin(\angle ABB_1)$. Но нам нужна высота из вершины $A_1$ к стороне $AB$. Углы $\angle A_1AB$ и $\angle ABB_1$ в ромбе являются соседними, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, $\sin(\angle A_1AB) = \sin(180^\circ - \angle ABB_1) = \sin(\angle ABB_1)$.

Высота ромба, проведенная из вершины $A_1$ к стороне $AB$, равна:

$h_{ромба} = A_1A \cdot \sin(\angle A_1AB) = a \cdot \sin(\angle ABB_1) = a \cdot \frac{b\sqrt{4a^2 - b^2}}{2a^2} = \frac{b\sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$

Итак, высота призмы $H = h_{ромба} = \frac{b\sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$.

4. Вычисление объема призмы.

Теперь подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b\sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$

Сократим $a$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b\sqrt{4a^2 - b^2}}{2} = \frac{ab\sqrt{3(4a^2 - b^2)}}{8}$

Ответ: Объем наклонной призмы равен $V = \frac{ab\sqrt{3(4a^2 - b^2)}}{8}$.