Номер 50, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

50. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в $30^\circ$.

Объем правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма. Ее наибольшая диагональ $D$, высота (боковое ребро) $h$ и наибольшая диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это наибольшая диагональ призмы $D = 8$ см;
• катет — высота призмы $h$;
• второй катет — наибольшая диагональ основания $d_{осн}$.

Угол между гипотенузой $D$ и катетом $h$ по условию равен $30^\circ$.

Найдем длину катетов, используя тригонометрические функции:

Высота $h$ является прилежащим катетом к углу $30^\circ$:

$h = D \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Наибольшая диагональ основания $d_{осн}$ является противолежащим катетом к углу $30^\circ$:

$d_{осн} = D \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Основание призмы — это правильный шестиугольник. Его наибольшая диагональ связана со стороной шестиугольника $a$ соотношением $d_{осн} = 2a$.

Найдем сторону основания $a$:

$2a = 4 \implies a = 2$ см.

Теперь вычислим площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим значение $a=2$ см:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см².

Наконец, найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot (\sqrt{3})^2 = 24 \cdot 3 = 72$ см³.

Ответ: $72$ см³.