Номер 49, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

49. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол в $60^\circ$. Найдите объем призмы, учитывая, что сторона основания равна $a$.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ – верхнее. По условию, в основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, то есть $AB = BC = AC = a$. Призма является правильной, значит она прямая, и ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Сечение проходит через сторону нижнего основания, например $AB$, и противолежащую вершину верхнего основания $C_1$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $ABC_1$.

Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ – это двугранный угол при ребре $AB$. Для определения его линейного угла построим перпендикуляры к $AB$ в обеих плоскостях, проведенные в одну точку.

1. В плоскости основания $(ABC)$ проведем высоту (которая также является медианой и биссектрисой) $CM$ к стороне $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $CM \perp AB$.

2. В треугольнике $ABC_1$ докажем, что он равнобедренный. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle BCC_1$ (углы $\angle C$ в них прямые, так как призма прямая). По теореме Пифагора:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + h^2$ (где $h = CC_1$ – высота призмы).$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = a^2 + h^2$. Так как $AC_1 = BC_1$, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, его медиана $C_1M$, проведенная к основанию, также является высотой, то есть $C_1M \perp AB$.

Поскольку $CM \perp AB$ и $C_1M \perp AB$, угол $\angle CMC_1$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию задачи, $\angle CMC_1 = 60^\circ$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Найдем площадь основания и высоту призмы.

Площадь основания $S_{осн}$ – это площадь равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Она равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Высоту призмы $h = CC_1$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle CMC_1$ (угол $\angle C_1CM = 90^\circ$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию). Длина катета $CM$ равна высоте в равностороннем треугольнике $ABC$:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle CMC_1$:$\tan(\angle CMC_1) = \frac{CC_1}{CM}$$h = CC_1 = CM \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$.

Теперь вычислим объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$.