Номер 55, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

55. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что:

a) его основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, а боковое ребро длиной $c$ составляет со смежными сторонами основания углы, равные $\phi$;

б) все его грани — равные ромбы с диагоналями, равными 6 см и 8 см.

а)

Объем параллелепипеда $V$ можно найти по формуле $V = S_{base} \cdot h$, где $S_{base}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В данном случае основанием является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, поэтому его площадь равна $S_{base} = ab$.

Для нахождения объема воспользуемся формулой, использующей векторы ребер, выходящих из одной вершины. Пусть $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ — векторы сторон основания, а $\vec{v_3}$ — вектор бокового ребра. Тогда объем равен квадратному корню из определителя Грама для этих векторов:

$V^2 = \det \begin{pmatrix} \vec{v_1} \cdot \vec{v_1} & \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} & \vec{v_1} \cdot \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \cdot \vec{v_1} & \vec{v_2} \cdot \vec{v_2} & \vec{v_2} \cdot \vec{v_3} \\ \vec{v_3} \cdot \vec{v_1} & \vec{v_3} \cdot \vec{v_2} & \vec{v_3} \cdot \vec{v_3} \end{pmatrix}$

По условию задачи имеем:

• Длины ребер: $|\vec{v_1}| = a$, $|\vec{v_2}| = b$, $|\vec{v_3}| = c$.
• Основание — прямоугольник, значит, угол между сторонами основания равен $90^\circ$, т.е. $\vec{v_1} \perp \vec{v_2}$.
• Боковое ребро составляет со смежными сторонами основания углы, равные $\varphi$.

Вычислим скалярные произведения векторов:

• $\vec{v_1} \cdot \vec{v_1} = |\vec{v_1}|^2 = a^2$
• $\vec{v_2} \cdot \vec{v_2} = |\vec{v_2}|^2 = b^2$
• $\vec{v_3} \cdot \vec{v_3} = |\vec{v_3}|^2 = c^2$
• $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = |\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cos(90^\circ) = ab \cdot 0 = 0$
• $\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = |\vec{v_1}||\vec{v_3}|\cos(\varphi) = ac\cos(\varphi)$
• $\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = |\vec{v_2}||\vec{v_3}|\cos(\varphi) = bc\cos(\varphi)$

Подставим эти значения в определитель Грама:

$V^2 = \det \begin{pmatrix} a^2 & 0 & ac\cos\varphi \\ 0 & b^2 & bc\cos\varphi \\ ac\cos\varphi & bc\cos\varphi & c^2 \end{pmatrix}$

Раскроем определитель:

$V^2 = a^2(b^2c^2 - (bc\cos\varphi)^2) - 0 + ac\cos\varphi(0 - b^2(ac\cos\varphi))$

$V^2 = a^2(b^2c^2 - b^2c^2\cos^2\varphi) - a^2b^2c^2\cos^2\varphi$

$V^2 = a^2b^2c^2 - a^2b^2c^2\cos^2\varphi - a^2b^2c^2\cos^2\varphi$

$V^2 = a^2b^2c^2(1 - 2\cos^2\varphi)$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $\cos(2\varphi) = 2\cos^2\varphi - 1$, получаем $1 - 2\cos^2\varphi = -\cos(2\varphi)$.

$V^2 = a^2b^2c^2(-\cos(2\varphi))$

Извлекая квадратный корень, находим объем:

$V = abc\sqrt{-\cos(2\varphi)}$

Такой параллелепипед существует при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $-\cos(2\varphi) \ge 0$, что означает $\cos(2\varphi) \le 0$. Это выполняется при $\frac{\pi}{2} \le 2\varphi \le \frac{3\pi}{2}$, или $\frac{\pi}{4} \le \varphi \le \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $V = abc\sqrt{-\cos(2\varphi)}$

б)

Поскольку все грани параллелепипеда — равные ромбы, данное тело является ромбоэдром. Все его ребра имеют одинаковую длину $a$. Найдем длину ребра ромба, зная его диагонали $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Все грани являются одинаковыми ромбами, поэтому и углы у них одинаковые. У ромба есть два острых и два тупых угла. Найдем косинусы этих углов. Пусть $\theta$ — один из углов ромба. Площадь ромба $S = a^2\sin\theta$, а также $S = \frac{1}{2}d_1d_2$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.

$24 = 5^2 \sin\theta \implies \sin\theta = \frac{24}{25}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, найдем косинус угла:

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25}$.

Таким образом, у ромба есть острый угол $\theta_1$, для которого $\cos\theta_1 = \frac{7}{25}$, и тупой угол $\theta_2$, для которого $\cos\theta_2 = -\frac{7}{25}$.

Объем ромбоэдра, ребро которого равно $a$, а все плоские углы при одной из вершин равны $\theta$, вычисляется по формуле:

$V = a^3\sqrt{1 - 3\cos^2\theta + 2\cos^3\theta}$

Условию задачи удовлетворяют два типа ромбоэдров:

1. Остроугольный ромбоэдр, у которого при каждой вершине сходятся три острых угла граней ($\theta = \theta_1$).
2. Тупоугольный ромбоэдр, у которого при каждой вершине сходятся три тупых угла граней ($\theta = \theta_2$).

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: все плоские углы при вершине острые, $\cos\theta = \frac{7}{25}$.

$V_1 = 5^3\sqrt{1 - 3(\frac{7}{25})^2 + 2(\frac{7}{25})^3} = 125\sqrt{1 - 3\frac{49}{625} + 2\frac{343}{15625}}$

$V_1 = 125\sqrt{\frac{15625 - 3 \cdot 49 \cdot 25 + 2 \cdot 343}{15625}} = 125\sqrt{\frac{15625 - 3675 + 686}{15625}} = 125\sqrt{\frac{12636}{15625}}$

$12636 = 324 \cdot 39 = 18^2 \cdot 39$.

$V_1 = 125 \frac{\sqrt{18^2 \cdot 39}}{\sqrt{15625}} = 125 \frac{18\sqrt{39}}{125} = 18\sqrt{39}$ см$^3$.

Случай 2: все плоские углы при вершине тупые, $\cos\theta = -\frac{7}{25}$.

$V_2 = 5^3\sqrt{1 - 3(-\frac{7}{25})^2 + 2(-\frac{7}{25})^3} = 125\sqrt{1 - 3\frac{49}{625} - 2\frac{343}{15625}}$

$V_2 = 125\sqrt{\frac{15625 - 3675 - 686}{15625}} = 125\sqrt{\frac{11264}{15625}}$

$11264 = 1024 \cdot 11 = 32^2 \cdot 11$.

$V_2 = 125 \frac{\sqrt{32^2 \cdot 11}}{\sqrt{15625}} = 125 \frac{32\sqrt{11}}{125} = 32\sqrt{11}$ см$^3$.

Оба случая являются решениями задачи.

Ответ: $18\sqrt{39}$ см$^3$ или $32\sqrt{11}$ см$^3$.