Номер 58, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

58. Найдите объем наклонной треугольной призмы, учитывая, что расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности — 480 $см^2$.

58. Объем наклонной призмы $V$ находится по формуле $V = S_{\perp} \cdot l$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.
Перпендикулярным сечением является треугольник, стороны которого $a, b, c$ равны заданным расстояниям между боковыми ребрами: $a = 37$ см, $b = 13$ см, $c = 30$ см.
Для нахождения площади этого треугольника ($S_{\perp}$) применим формулу Герона: $S_{\perp} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — его полупериметр.
Вычислим полупериметр:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{37+13+30}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.
Теперь вычислим площадь перпендикулярного сечения:
$S_{\perp} = \sqrt{40(40-37)(40-13)(40-30)} = \sqrt{40 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10} = \sqrt{400 \cdot 81} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{81} = 20 \cdot 9 = 180 \text{ см}^2$.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ связана с периметром перпендикулярного сечения $P_{\perp}$ и длиной бокового ребра $l$ формулой $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$.
Периметр перпендикулярного сечения равен: $P_{\perp} = a+b+c = 37+13+30 = 80$ см.
Из условия известно, что $S_{бок} = 480 \text{ см}^2$. Найдем длину бокового ребра $l$:
$l = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}} = \frac{480}{80} = 6$ см.
Наконец, найдем объем призмы:
$V = S_{\perp} \cdot l = 180 \cdot 6 = 1080 \text{ см}^3$.
Ответ: $1080 \text{ см}^3$.