Номер 52, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

52. Найдите боковую поверхность призмы и объем наклонной треугольной призмы, у которой:

а) расстояние между параллельными прямыми, проходящими через боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а сами ребра — 5 см;

б) две боковые грани равны и образуют угол в $60^\circ$, а прямая, которой принадлежит их общее ребро длиной $a$, находится на расстоянии $a$ от плоскости противолежащей боковой грани.

а)

Пусть $l$ — длина бокового ребра наклонной треугольной призмы. По условию, $l = 5$ см. Расстояния между параллельными боковыми ребрами призмы являются сторонами перпендикулярного сечения призмы. Перпендикулярное сечение — это треугольник, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам.

Пусть стороны перпендикулярного сечения равны $a_{пс} = 2$ см, $b_{пс} = 3$ см и $c_{пс} = 4$ см.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

Найдем периметр перпендикулярного сечения: $P_{\perp} = a_{пс} + b_{пс} + c_{пс} = 2 + 3 + 4 = 9$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 9 \cdot 5 = 45 \text{ см}^2$.

Объем наклонной призмы ($V$) вычисляется по формуле: $V = S_{\perp} \cdot l$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения.

Площадь перпендикулярного сечения (треугольника со сторонами 2, 3, 4) найдем по формуле Герона: $S_{\perp} = \sqrt{p(p-a_{пс})(p-b_{пс})(p-c_{пс})}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Полупериметр $p = \frac{P_{\perp}}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Вычисляем площадь: $S_{\perp} = \sqrt{4.5(4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)} = \sqrt{4.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5}$ $S_{\perp} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем призмы: $V = S_{\perp} \cdot l = \frac{3\sqrt{15}}{4} \cdot 5 = \frac{15\sqrt{15}}{4} \text{ см}^3$.

Ответ: $S_{бок} = 45 \text{ см}^2$, $V = \frac{15\sqrt{15}}{4} \text{ см}^3$.

б)

Пусть $l$ — длина бокового ребра призмы. По условию, общее ребро двух равных боковых граней имеет длину $a$, следовательно, $l=a$.

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. Это треугольник. Площади боковых граней призмы равны произведению длины бокового ребра на соответствующую сторону перпендикулярного сечения.

Поскольку две боковые грани, имеющие общее ребро, равны, то и соответствующие им стороны перпендикулярного сечения, выходящие из одной вершины, также равны. Таким образом, перпендикулярное сечение является равнобедренным треугольником.

Угол между этими равными гранями составляет $60^\circ$. Этот угол равен углу при вершине равнобедренного перпендикулярного сечения. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним.

Итак, перпендикулярное сечение призмы — это равносторонний треугольник. Пусть его сторона равна $s$.

По условию, прямая, содержащая общее ребро (соответствующее вершине перпендикулярного сечения), находится на расстоянии $a$ от плоскости противолежащей боковой грани (содержащей противолежащую сторону перпендикулярного сечения). Это расстояние равно высоте $h$ перпендикулярного сечения.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$. По условию, $h = a$. Следовательно, $a = \frac{s\sqrt{3}}{2}$, откуда находим сторону перпендикулярного сечения: $s = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности и объем призмы.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$. Периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp} = 3s = 3 \cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3} = 2a\sqrt{3}$. Длина бокового ребра $l = a$. $S_{бок} = (2a\sqrt{3}) \cdot a = 2\sqrt{3}a^2$.

Объем призмы $V = S_{\perp} \cdot l$. Площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ (равностороннего треугольника) можно найти как половину произведения основания на высоту: $S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{3}}{3}$. Длина бокового ребра $l = a$. $V = S_{\perp} \cdot l = \frac{a^2\sqrt{3}}{3} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{3}a^3$.

Ответ: $S_{бок} = 2\sqrt{3}a^2$, $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^3$.