Номер 47, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

47. Найдите объем прямой призмы $BCDB_1C_1D_1$, учитывая, что $BC = CD$, $\angle BCD = \alpha$, диагональ $B_1D$ равна $l$ и составляет с плоскостью основания угол $\beta$.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Для решения задачи найдем высоту призмы и площадь ее основания.

Поскольку призма $BCDB_1C_1D_1$ — прямая, ее высота $H$ равна длине бокового ребра, например, $BB_1$. Это ребро перпендикулярно плоскости основания $BCD$. Проекцией диагонали призмы $B_1D$ на плоскость основания является диагональ основания $BD$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, следовательно, угол между $B_1D$ и плоскостью основания равен $\angle B_1DB = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BD$ (угол $\angle B_1BD = 90^\circ$). Гипотенуза $B_1D = l$. Из этого треугольника находим высоту призмы $H$ и диагональ основания $BD$:

$H = BB_1 = B_1D \cdot \sin(\angle B_1DB) = l \sin(\beta)$

$BD = B_1D \cdot \cos(\angle B_1DB) = l \cos(\beta)$

Теперь найдем площадь основания $S_{осн}$. Основанием является равнобедренный треугольник $BCD$, так как по условию $BC = CD$. Угол между этими сторонами $\angle BCD = \alpha$. Площадь этого треугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} BC^2 \sin(\alpha)$.

Применим к треугольнику $BCD$ теорему косинусов, чтобы связать сторону $BC$ с известной нам диагональю $BD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\alpha) = 2BC^2 - 2BC^2 \cos(\alpha) = 2BC^2(1 - \cos(\alpha))$

Подставим в это равенство выражение для $BD$:

$(l \cos(\beta))^2 = 2BC^2(1 - \cos(\alpha))$

Отсюда выразим $BC^2$:

$BC^2 = \frac{l^2 \cos^2(\beta)}{2(1 - \cos(\alpha))}$

Теперь подставим $BC^2$ в формулу для площади основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \left( \frac{l^2 \cos^2(\beta)}{2(1 - \cos(\alpha))} \right) \sin(\alpha) = \frac{l^2 \cos^2(\beta) \sin(\alpha)}{4(1 - \cos(\alpha))}$

Для вычисления объема призмы умножим площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{l^2 \cos^2(\beta) \sin(\alpha)}{4(1 - \cos(\alpha))} \cdot l \sin(\beta) = \frac{l^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \sin(\alpha)}{4(1 - \cos(\alpha))}$

Используя тригонометрические тождества $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, можно упростить выражение для объема. Отношение $\frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)}$ преобразуется в:

$\frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)} = \frac{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Тогда объем призмы равен:

$V = \frac{1}{4} l^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $V = \frac{1}{4} l^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$