Номер 46, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

46. Пять ребер прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равны $a$, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Обозначим катеты этого треугольника как $k_1$ и $k_2$, а гипотенузу как $h$. Поскольку призма прямая, ее высота $H$ равна длине боковых ребер.

Общее количество ребер у треугольной призмы равно 9. Они состоят из:

• 3 боковых ребра, все равны по длине $H$.
• 6 ребер оснований: по два ребра длиной $k_1$, $k_2$ и $h$ (по одному в нижнем и верхнем основаниях).

Таким образом, набор длин всех девяти ребер призмы: $\{H, H, H, k_1, k_1, k_2, k_2, h, h\}$.

По условию задачи, пять из этих ребер равны $a$, а остальные четыре ребра равны друг другу. Обозначим длину этих четырех ребер как $b$.

Рассмотрим возможные варианты. Три боковых ребра имеют одинаковую длину, поэтому они должны принадлежать либо к группе из пяти ребер, либо к группе из четырех.

Случай 1: Боковые ребра равны $a$.

В этом случае высота призмы $H=a$. Это означает, что три из пяти ребер длиной $a$ — это боковые ребра. Следовательно, среди шести ребер оснований $\{k_1, k_1, k_2, k_2, h, h\}$ должны быть два ребра длиной $a$ и четыре ребра длиной $b$.

Поскольку ребра оснований идут парами одинаковой длины ($k_1, k_1$; $k_2, k_2$; $h, h$), то одна из пар должна иметь длину $a$, а две другие пары — длину $b$.

• Предположим, что пара катетов равна $a$ (например, $k_1=a$). Тогда другая пара катетов и пара гипотенуз должны быть равны $b$ ($k_2=b$, $h=b$). Но в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета ($h > k_2$), поэтому равенство $h=k_2$ невозможно. Этот вариант отпадает.
• Предположим, что пара гипотенуз равна $a$ ($h=a$). Тогда обе пары катетов должны быть равны $b$ ($k_1=b$ и $k_2=b$). Это означает, что в основании призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник.

Давайте проверим этот вариант.
Длины ребер:
- 3 боковых ребра равны $H=a$.
- 2 гипотенузы в основаниях равны $h=a$.
Итого: $3+2=5$ ребер равны $a$.
- 4 катета в основаниях равны $k_1=k_2=b$.
Итого: 4 ребра равны $b$.
Это распределение полностью соответствует условию задачи.

Случай 2: Боковые ребра равны $b$.

В этом случае высота призмы $H=b$. Это означает, что три из четырех ребер длиной $b$ — это боковые ребра. Следовательно, среди шести ребер оснований должно быть одно ребро длиной $b$ и пять ребер длиной $a$. Однако ребра оснований идут парами, поэтому невозможно иметь нечетное количество ребер одной длины. Этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный вариант — это тот, что получен в Случае 1. Призма имеет высоту $H=a$, а в ее основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $b$ и гипотенузой длиной $a$.

Теперь найдем объем призмы по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.
Высота призмы $H=a$.
Площадь основания $S_{осн}$ — это площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $b$.$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b = \frac{1}{2}b^2$.

Чтобы выразить площадь через $a$, используем теорему Пифагора для треугольника в основании:$k_1^2 + k_2^2 = h^2$
$b^2 + b^2 = a^2$
$2b^2 = a^2$
$b^2 = \frac{a^2}{2}$

Подставим найденное значение $b^2$ в формулу для площади основания:$S_{осн} = \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Наконец, вычислим объем призмы:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{4}$.

Ответ: $\frac{a^3}{4}$