Номер 48, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

48. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через его сторону, равную $a$, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол $\beta$ с плоскостью основания. Найдите объем призмы, учитывая, что площадь сечения равна $Q$.

Пусть дана прямая призма, основанием которой является параллелограмм $ABCD$. Обозначим высоту призмы как $H$. Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, и их длина равна высоте $H$.

Сечение проходит через сторону основания, например $AD$, длина которой по условию равна $a$, и через противолежащую ей сторону другого основания. Противоположной стороне $AD$ в основании $ABCD$ является сторона $BC$. Ей соответствующая сторона в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$ — это $B_1C_1$. Таким образом, сечение является четырехугольником $ADC_1B_1$. Так как $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, то $AD \parallel B_1C_1$. А так как $AD = BC = B_1C_1 = a$, то сечение $ADC_1B_1$ является параллелограммом. Площадь этого сечения по условию равна $Q$, то есть $S_{сеч} = Q$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Найдем $S_{осн}$ и $H$.

1. Нахождение площади основания.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. В данном случае, ортогональной проекцией сечения $ADC_1B_1$ на плоскость основания $ABCD$ является само основание $ABCD$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания по условию равен $\beta$.

Следовательно, площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле:

$S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos(\beta)$

Подставляя известное значение $S_{сеч} = Q$, получаем:

$S_{осн} = Q \cos(\beta)$

2. Нахождение высоты призмы.

Площадь параллелограмма сечения $ADC_1B_1$ можно выразить как произведение его стороны $AD$ на высоту $h_{сеч}$, проведенную к этой стороне.

$S_{сеч} = AD \cdot h_{сеч}$

$Q = a \cdot h_{сеч} \implies h_{сеч} = \frac{Q}{a}$

Пусть $h_{сеч}$ — это высота, опущенная из вершины $B_1$ на сторону $AD$ (или ее продолжение). Обозначим ее основание как точку $K$. Таким образом, $B_1K = h_{сеч}$ и $B_1K \perp AD$.

Рассмотрим треугольник, образованный высотой сечения $B_1K$, высотой призмы $H = BB_1$ и проекцией высоты сечения на основание $BK$. Поскольку призма прямая, $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $BK$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle B_1BK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B_1BK$.

Угол $\beta$ между плоскостью сечения и плоскостью основания является двугранным углом при ребре $AD$. Его линейным углом будет угол между перпендикулярами к $AD$, проведенными в этих плоскостях. $B_1K \perp AD$ в плоскости сечения. По теореме о трех перпендикулярах, проекция $BK$ наклонной $B_1K$ также перпендикулярна $AD$. Значит, угол $\angle B_1KB$ и есть линейный угол двугранного угла, то есть $\angle B_1KB = \beta$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BK$:

• гипотенуза $B_1K = h_{сеч} = \frac{Q}{a}$
• катет $BB_1 = H$ (противолежащий углу $\beta$)

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\beta) = \frac{BB_1}{B_1K} = \frac{H}{Q/a}$

Отсюда выражаем высоту призмы $H$:

$H = \frac{Q}{a} \sin(\beta)$

3. Вычисление объема призмы.

Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = (Q \cos(\beta)) \cdot \left(\frac{Q}{a} \sin(\beta)\right)$

$V = \frac{Q^2}{a} \sin(\beta) \cos(\beta)$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2 \sin(\beta) \cos(\beta)$, можно переписать выражение для объема:

$V = \frac{Q^2}{2a} \cdot (2 \sin(\beta) \cos(\beta)) = \frac{Q^2 \sin(2\beta)}{2a}$

Ответ: Объем призмы равен $V = \frac{Q^2}{a} \sin(\beta) \cos(\beta)$, что также можно записать как $V = \frac{Q^2 \sin(2\beta)}{2a}$.