Номер 45, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

45. Тело $P$ составлено из тел $M$ и $N$, имеющими соответственно объемы $V_1$ и $V_2$. Выразите объем $V$ тела $P$ через объемы $V_1$ и $V_2$, учитывая, что:

а) тела $M$ и $N$ не имеют общих внутренних точек;

б) тела $M$ и $N$ имеют общую часть, объем которой равен $\frac{1}{3} V_1$.

а) Тело $P$ составлено из тел $M$ и $N$. Это означает, что тело $P$ является объединением тел $M$ и $N$. По условию, тела $M$ и $N$ не имеют общих внутренних точек. Это значит, что их пересечение имеет нулевой объем. В таком случае объем объединения тел равен сумме их объемов.
Пусть $V$ – объем тела $P$, $V_1$ – объем тела $M$, а $V_2$ – объем тела $N$.
Тогда объем тела $P$ вычисляется по формуле:
$V = V_1 + V_2$
Ответ: $V = V_1 + V_2$.

б) В этом случае тела $M$ и $N$ имеют общую часть (пересечение), объем которой не равен нулю. Объем тела $P$, которое является объединением тел $M$ и $N$, находится по формуле объема объединения множеств (принцип включений-исключений для двух множеств):
$V(P) = V(M \cup N) = V(M) + V(N) - V(M \cap N)$
где $V(M \cup N)$ – объем объединения, $V(M)$ и $V(N)$ – объемы тел, а $V(M \cap N)$ – объем их общей части (пересечения).
По условию нам дано:
$V(M) = V_1$
$V(N) = V_2$
$V(M \cap N) = \frac{1}{3}V_1$
Подставим эти значения в формулу:
$V = V_1 + V_2 - \frac{1}{3}V_1$
Теперь упростим выражение:
$V = (1 - \frac{1}{3})V_1 + V_2 = \frac{2}{3}V_1 + V_2$
Ответ: $V = \frac{2}{3}V_1 + V_2$.