Номер 39, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

39. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда $PQRTP_1Q_1R_1T_1$, учитывая, что $PR_1 = 13$ см, $QT = 12$ см и $QR_1 = 11$ см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $PQRTP_1Q_1R_1T_1$ — это длина $a$, ширина $b$ и высота $c$. Примем за основание прямоугольник $PQRT$. Тогда можно сопоставить измерения с ребрами: длина $a = PQ$, ширина $b = QR$ и высота $c = RR_1$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$

Для решения задачи необходимо найти значения $a, b, c$. Выразим данные в условии длины отрезков через эти измерения.

1. Отрезок $PR_1$ является пространственной диагональю параллелепипеда, так как он соединяет противоположные вершины $P$ (в нижнем основании) и $R_1$ (в верхнем основании). Квадрат длины пространственной диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: $PR_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. По условию $PR_1 = 13$ см, следовательно: $a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$.

2. Отрезок $QT$ является диагональю основания $PQRT$. Так как основание — это прямоугольник со сторонами $PQ = a$ и $PT = QR = b$, то по теореме Пифагора квадрат его диагонали равен сумме квадратов сторон: $QT^2 = PQ^2 + PT^2 = a^2 + b^2$. По условию $QT = 12$ см, следовательно: $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$.

3. Отрезок $QR_1$ является диагональю боковой грани $QRR_1Q_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $QR = b$ и $RR_1 = c$. По теореме Пифагора для этой грани: $QR_1^2 = QR^2 + RR_1^2 = b^2 + c^2$. По условию $QR_1 = 11$ см, следовательно: $b^2 + c^2 = 11^2 = 121$.

Мы получили систему из трех уравнений для нахождения квадратов измерений ($a^2, b^2, c^2$): $ \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 = 169 & (1) \\ a^2 + b^2 = 144 & (2) \\ b^2 + c^2 = 121 & (3) \end{cases} $

Решим эту систему. Подставим выражение для $a^2 + b^2$ из уравнения (2) в уравнение (1): $(a^2 + b^2) + c^2 = 169$ $144 + c^2 = 169$ $c^2 = 169 - 144 = 25$

Теперь подставим найденное значение $c^2 = 25$ в уравнение (3): $b^2 + 25 = 121$ $b^2 = 121 - 25 = 96$

Наконец, подставим значение $b^2 = 96$ в уравнение (2): $a^2 + 96 = 144$ $a^2 = 144 - 96 = 48$

Мы нашли квадраты измерений: $a^2 = 48$, $b^2 = 96$, $c^2 = 25$. Теперь можем найти сами измерения: $a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см. $b = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см. $c = \sqrt{25} = 5$ см.

Вычислим объем параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c = (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{6}) \cdot 5$ $V = (4 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}) = 80 \cdot \sqrt{18}$ $V = 80 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 80 \cdot 3\sqrt{2} = 240\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $240\sqrt{2}$ см$^3$.