Номер 36, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

36. Найдите боковую и полную поверхности правильной призмы по данным, приведенным на рис. 28.

Для нахождения боковой и полной поверхности правильной призмы используются следующие формулы:

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $h$ - высота призмы.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ - площадь основания.

Решим задачу для каждого случая, представленного на рисунке.

а)

Дана правильная треугольная призма. В основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 5$ см. Высота призмы $h = 10$ см.

1. Найдем площадь боковой поверхности.
Периметр основания (равностороннего треугольника): $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 5 = 15$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 15 \cdot 10 = 150$ см$^2$.

2. Найдем площадь полной поверхности.
Сначала найдем площадь основания. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{осн} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 150 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} = 150 + \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $S_{бок} = 150$ см$^2$; $S_{полн} = 150 + \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

б)

Дана правильная шестиугольная призма. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Высота призмы $h = 12$ см.

1. Найдем площадь боковой поверхности.
Периметр основания (правильного шестиугольника): $P_{осн} = 6a = 6 \cdot 6 = 36$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 36 \cdot 12 = 432$ см$^2$.

2. Найдем площадь полной поверхности.
Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$: $S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 432 + 2 \cdot 54\sqrt{3} = 432 + 108\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{бок} = 432$ см$^2$; $S_{полн} = 432 + 108\sqrt{3}$ см$^2$.

в)

Дана правильная четырехугольная призма. В основании лежит квадрат со стороной $a = 5$ см. Дана диагональ боковой грани $d_{гр} = 13$ см.

1. Найдем высоту призмы $h$.
Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ $d_{гр}$, сторона основания $a$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $d_{гр}$ - гипотенуза. По теореме Пифагора: $a^2 + h^2 = d_{гр}^2$.
$5^2 + h^2 = 13^2$
$25 + h^2 = 169$
$h^2 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Периметр основания (квадрата): $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20 \cdot 12 = 240$ см$^2$.

3. Найдем площадь полной поверхности.
Площадь основания (квадрата): $S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25$ см$^2$.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 240 + 2 \cdot 25 = 240 + 50 = 290$ см$^2$.

Ответ: $S_{бок} = 240$ см$^2$; $S_{полн} = 290$ см$^2$.