Номер 31, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

31. Найдите боковую поверхность призмы, у которой основанием является ромб со стороной 10 см и углом в $60^\circ$ и:

а) боковые грани — прямоугольники, меньшая диагональ составляет с основанием угол в $45^\circ$;

б) все грани — равные ромбы.

а) Поскольку боковые грани призмы являются прямоугольниками, данная призма — прямая. Площадь боковой поверхности прямой призмы находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием является ромб со стороной $a = 10$ см. Периметр основания равен $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Для нахождения высоты $h$ сначала определим длину меньшей диагонали основания $d_1$. Ромб имеет угол 60°. Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равносторонним, так как все его углы равны 60°. Следовательно, длина меньшей диагонали ромба равна длине его стороны: $d_1 = a = 10$ см.

Меньшая диагональ призмы, ее проекция на плоскость основания (которой является меньшая диагональ основания $d_1$) и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между меньшей диагональю призмы и основанием составляет 45°. В этом прямоугольном треугольнике катеты $h$ и $d_1$ связаны соотношением $\tan(45°) = \frac{h}{d_1}$. Так как $\tan(45°) = 1$, высота призмы равна меньшей диагонали основания: $h = d_1 = 10$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 40 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 400 \text{ см}^2$.

Ответ: $400 \text{ см}^2$.

б) Если все грани призмы — равные ромбы, это означает, что четыре боковые грани являются ромбами, равными ромбу в основании. Таким образом, призма является наклонной, а ее боковая поверхность состоит из четырех одинаковых ромбов.

Каждая боковая грань представляет собой ромб со стороной $a=10$ см и углами 60° и 120°, как и основание. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей этих четырех граней: $S_{бок} = 4 \cdot S_{грани}$.

Площадь одного ромба (грани) можно найти по формуле $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Возьмем острый угол ромба $\alpha = 60°$:

$S_{грани} = 10^2 \cdot \sin(60°) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 50\sqrt{3} = 200\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $200\sqrt{3} \text{ см}^2$.