Номер 43, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

43. Найдите объем прямой призмы $XYZX_1Y_1Z_1$, учитывая, что:

a) $\angle YXZ = 120^\circ$, $XY = 5 \text{ см}$, $XZ = 3 \text{ см}$ и наибольшая из площадей боковых граней равна $35 \text{ см}^2$;

б) $\angle XY_1Z = 60^\circ$, $XY = 4$, $ZY_1 = 12$ и двугранный угол с ребром $YY_1$ прямой.

а) Объем прямой призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.
1. Найдем площадь основания — треугольника $XYZ$. Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{XYZ} = \frac{1}{2} \cdot XY \cdot XZ \cdot \sin(\angle YXZ)$
Подставляем известные значения: $XY = 5$ см, $XZ = 3$ см, $\angle YXZ = 120^\circ$.
$S_{XYZ} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.
2. Найдем высоту призмы $h$. Боковые грани прямой призмы — это прямоугольники, их площади равны произведению стороны основания на высоту призмы. Наибольшая боковая грань соответствует наибольшей стороне основания. Найдем длину стороны $YZ$ по теореме косинусов для треугольника $XYZ$:
$YZ^2 = XY^2 + XZ^2 - 2 \cdot XY \cdot XZ \cdot \cos(\angle YXZ)$
$YZ^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$
$YZ = \sqrt{49} = 7$ см.
Сравнивая стороны основания $XY=5$ см, $XZ=3$ см и $YZ=7$ см, видим, что $YZ$ — наибольшая сторона.
Следовательно, наибольшая боковая грань — это $YZZ_1Y_1$, и ее площадь $S_{бок} = YZ \cdot h$.
По условию, площадь наибольшей боковой грани равна 35 см$^2$.
$7 \cdot h = 35$, откуда $h = \frac{35}{7} = 5$ см.
3. Теперь вычислим объем призмы:
$V = S_{XYZ} \cdot h = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

б) Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.
1. Определим вид основания. Условие "двугранный угол с ребром $YY_1$ прямой" означает, что боковые грани $XYY_1X_1$ и $ZYY_1Z_1$, проходящие через это ребро, перпендикулярны. Так как призма прямая, эти грани перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, угол между ними равен углу между их следами на плоскости основания, то есть $\angle XYZ = 90^\circ$. Таким образом, основание призмы — это прямоугольный треугольник $XYZ$ с прямым углом при вершине $Y$.
2. Найдем высоту призмы $h = YY_1$ и катет $YZ$. Рассмотрим треугольник $XY_1Z$. По теореме косинусов для этого треугольника:
$XZ^2 = XY_1^2 + ZY_1^2 - 2 \cdot XY_1 \cdot ZY_1 \cdot \cos(\angle XY_1Z)$
Выразим стороны $XZ$ и $XY_1$ через известные величины и неизвестные $h$ и $YZ$.
Из прямоугольного треугольника $XYZ$ (с прямым углом $Y$): $XZ^2 = XY^2 + YZ^2 = 4^2 + YZ^2 = 16 + YZ^2$.
Из прямоугольного треугольника $XYY_1$ (призма прямая, поэтому $YY_1 \perp XY$): $XY_1^2 = XY^2 + YY_1^2 = 4^2 + h^2 = 16 + h^2$.
Из прямоугольного треугольника $ZYY_1$ (призма прямая, поэтому $YY_1 \perp YZ$): $ZY_1^2 = YZ^2 + YY_1^2 = YZ^2 + h^2$. По условию $ZY_1 = 12$, значит $144 = YZ^2 + h^2$, откуда $YZ^2 = 144 - h^2$.
Подставим все выражения в уравнение теоремы косинусов, учитывая, что $\angle XY_1Z = 60^\circ$ и $ZY_1 = 12$:
$16 + (144 - h^2) = (16 + h^2) + 12^2 - 2 \cdot \sqrt{16+h^2} \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ)$
$160 - h^2 = 16 + h^2 + 144 - 2 \cdot \sqrt{16+h^2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$
$160 - h^2 = 160 + h^2 - 12\sqrt{16+h^2}$
$2h^2 = 12\sqrt{16+h^2}$
$h^2 = 6\sqrt{16+h^2}$
Сделаем замену $u = h^2$ (где $u \ge 0$): $u = 6\sqrt{16+u}$. Возведем обе части в квадрат:
$u^2 = 36(16+u)$
$u^2 - 36u - 576 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-36)^2 - 4(1)(-576) = 1296 + 2304 = 3600 = 60^2$.
$u = \frac{36 \pm 60}{2}$. Так как $u = h^2 \ge 0$, подходит только корень $u = \frac{36+60}{2} = 48$.
Итак, $h^2 = 48$, значит высота призмы $h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Теперь найдем катет $YZ$: $YZ^2 = 144 - h^2 = 144 - 48 = 96$, откуда $YZ = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
3. Найдем площадь основания $S_{XYZ}$. Так как это прямоугольный треугольник с катетами $XY=4$ и $YZ=4\sqrt{6}$:
$S_{XYZ} = \frac{1}{2} \cdot XY \cdot YZ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$.
4. Вычислим объем призмы:
$V = S_{XYZ} \cdot h = 8\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{18} = 32\sqrt{9 \cdot 2} = 32 \cdot 3\sqrt{2} = 96\sqrt{2}$.
Ответ: $96\sqrt{2}$.