Номер 15, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. Основанием $ABCD$ наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат с центром $O$ и стороной 2 см. Найдите боковое ребро призмы, учитывая, что $A_1O=\sqrt{2}$ см, а расстояние между плоскостями оснований равно $\sqrt{2}$ см.

Пусть $h$ — высота наклонной призмы, то есть расстояние между плоскостями оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, $h = \sqrt{2}$ см. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной 2 см и центром $O$. Центр квадрата $O$ является точкой пересечения его диагоналей. Найдем длину половины диагонали $AO$. Диагональ квадрата $AC$ можно найти по теореме Пифагора для треугольника $ABC$:$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см. Так как $O$ — центр квадрата, то он является серединой диагонали $AC$. Следовательно,$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Пусть $H$ — проекция точки $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Тогда отрезок $A_1H$ является высотой призмы, и его длина равна расстоянию между плоскостями оснований: $A_1H = h = \sqrt{2}$ см. Точки $A_1$, $H$ и $O$ образуют прямоугольный треугольник $A_1HO$, где $\angle A_1HO = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $A_1H = \sqrt{2}$ см, а гипотенуза $A_1O$ по условию равна $\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора: $A_1O^2 = A_1H^2 + HO^2$. Подставим известные значения:$(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 + HO^2$$2 = 2 + HO^2$Отсюда $HO^2 = 0$, что означает $HO = 0$. Это значит, что точка $H$ совпадает с точкой $O$. Таким образом, проекцией вершины $A_1$ на плоскость нижнего основания является центр этого основания $O$.

Теперь мы можем найти длину бокового ребра $AA_1$. Рассмотрим треугольник $A_1OA$. Так как $A_1O$ — перпендикуляр к плоскости $ABCD$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $A_1O \perp AO$. Следовательно, треугольник $A_1OA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Катеты этого треугольника — $AO$ и $A_1O$, а гипотенуза — боковое ребро $AA_1$. Длины катетов нам известны: $AO = \sqrt{2}$ см и $A_1O = \sqrt{2}$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $AA_1$:$AA_1^2 = AO^2 + A_1O^2$$AA_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$$AA_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.