Номер 10, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Найдите диагональ:

а) куба, учитывая, что диагональ его боковой грани равна $6\sqrt{2}$ см;

б) прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

а)

Пусть ребро куба равно $a$. Грань куба является квадратом со стороной $a$. Диагональ грани куба (диагональ квадрата) $d_г$ связана с ребром формулой, вытекающей из теоремы Пифагора: $d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d_г = a\sqrt{2}$.

По условию, диагональ боковой грани равна $6\sqrt{2}$ см.

Приравниваем: $a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Отсюда находим длину ребра куба: $a = 6$ см.

Диагональ куба $D$ связана с его ребром $a$ формулой: $D^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$, откуда $D = a\sqrt{3}$.

Подставляем найденное значение $a = 6$ см:

$D = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

б)

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$.

Грани прямоугольного параллелепипеда — это прямоугольники со сторонами ($a, b$), ($a, c$) и ($b, c$). Диагонали этих граней ($d_1, d_2, d_3$) по теореме Пифагора равны:

$d_1^2 = a^2 + b^2$

$d_2^2 = a^2 + c^2$

$d_3^2 = b^2 + c^2$

По условию, диагонали граней равны 11 см, 19 см и 20 см. Составим систему уравнений:

$a^2 + b^2 = 11^2 = 121$

$a^2 + c^2 = 19^2 = 361$

$b^2 + c^2 = 20^2 = 400$

Сложим все три уравнения системы:

$(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 121 + 361 + 400$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 882$

$2(a^2 + b^2 + c^2) = 882$

$a^2 + b^2 + c^2 = 441$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда $D$ равен сумме квадратов его измерений: $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Следовательно, $D^2 = 441$.

Находим диагональ $D$: $D = \sqrt{441} = 21$ см.

Ответ: 21 см.