Номер 5, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Верно ли, что у параллелепипеда:

а) есть три четверки равных ребер;

б) есть три пары равных граней;

в) его четыре диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда?

а) есть три четверки равных ребер;

Да, это утверждение верно. Параллелепипед — это многогранник, у которого 6 граней, и все они являются параллелограммами. У параллелепипеда всего 12 ребер. Эти ребра можно сгруппировать по трем некомпланарным (не лежащим в одной плоскости) направлениям. В каждой такой группе находится по четыре ребра, которые параллельны друг другу. Поскольку грани параллелепипеда — это параллелограммы, то противолежащие стороны в них равны. Это приводит к тому, что все четыре параллельных ребра в каждой из трех групп имеют одинаковую длину. Таким образом, у любого параллелепипеда есть три группы по четыре равных ребра. Например, у прямоугольного параллелепипеда есть 4 ребра, равные его длине, 4 ребра, равные ширине, и 4 ребра, равные высоте.
Ответ: Да, верно.

б) есть три пары равных граней;

Да, это утверждение верно. У параллелепипеда 6 граней. Они всегда образуют три пары противолежащих (противоположных) граней. По определению и свойствам параллелепипеда, противолежащие грани параллельны и равны (конгруэнтны) друг другу. Это означает, что нижняя грань (основание) равна верхней, передняя грань равна задней, и левая боковая грань равна правой боковой. Каждая такая грань является параллелограммом, и равенство означает, что соответствующие стороны и углы у противолежащих граней одинаковы.
Ответ: Да, верно.

в) его четыре диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда?

Да, это утверждение верно. Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. У параллелепипеда имеется ровно четыре таких диагонали.

Свойство параллелепипеда гласит, что все четыре его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эту точку называют центром параллелепипеда.

Приведем доказательство с помощью векторов. Пусть одна из вершин параллелепипеда находится в начале координат $O$. Три ребра, выходящие из этой вершины, зададим векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Тогда восемь вершин параллелепипеда будут иметь следующие радиус-векторы: $\vec{0}$, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{c}$, $\vec{b}+\vec{c}$ и $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Четыре диагонали соединяют пары противоположных вершин:

• Первая диагональ соединяет вершины с векторами $\vec{0}$ и $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.
• Вторая диагональ соединяет вершины с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}+\vec{c}$.
• Третья диагональ соединяет вершины с векторами $\vec{b}$ и $\vec{a}+\vec{c}$.
• Четвертая диагональ соединяет вершины с векторами $\vec{c}$ и $\vec{a}+\vec{b}$.

Найдем середину каждой диагонали, используя формулу середины отрезка, которая для векторов выглядит как полусумма радиус-векторов концов отрезка.

• Середина первой диагонали: $M_1 = \frac{\vec{0} + (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2}$.
• Середина второй диагонали: $M_2 = \frac{\vec{a} + (\vec{b}+\vec{c})}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2}$.
• Середина третьей диагонали: $M_3 = \frac{\vec{b} + (\vec{a}+\vec{c})}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2}$.
• Середина четвертой диагонали: $M_4 = \frac{\vec{c} + (\vec{a}+\vec{b})}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2}$.

Так как координаты середин всех четырех диагоналей совпадают, все они пересекаются в одной точке $M$.

Эта точка $M$ является центром симметрии параллелепипеда. Центральная симметрия относительно точки $M$ отображает любую точку фигуры $X$ в точку $X'$ так, что $M$ является серединой отрезка $XX'$. Для параллелепипеда такое преобразование отображает каждую вершину в противоположную ей вершину, каждое ребро — в противоположное ему ребро, а каждую грань — в противоположную ей грань, таким образом, вся фигура отображается сама на себя.
Ответ: Да, верно.