Номер 3, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Верно ли, что в правильной призме:

а) все боковые грани — равные друг другу прямоугольники;

б) двугранные углы при боковых ребрах равны друг другу;

в) любая точка прямой, проходящей через центры оснований, равноудалена от боковых граней, а также от боковых ребер?

а) все боковые грани — равные друг другу прямоугольники;

Данное утверждение верно. По определению, правильная призма является прямой призмой, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Из того, что призма прямая, следует, что ее боковые грани — прямоугольники, так как боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Из того, что в основании лежит правильный многоугольник, следует, что все стороны основания равны между собой (пусть их длина будет $a$).

Все боковые ребра призмы также равны между собой (пусть их длина, равная высоте призмы, будет $h$).

Таким образом, каждая боковая грань является прямоугольником с одинаковыми сторонами $a$ и $h$. Следовательно, все боковые грани равны друг другу.

Ответ: да, верно.

б) двугранные углы при боковых ребрах равны друг другу;

Данное утверждение верно. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы измеряется линейным углом, который равен соответствующему внутреннему углу многоугольника в основании.

Поскольку в основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, все его внутренние углы по определению равны. Величина каждого такого угла для n-угольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Так как все углы в основании равны, то и все двугранные углы при боковых ребрах, которые им соответствуют, равны друг другу.

Ответ: да, верно.

в) любая точка прямой, проходящей через центры оснований, равноудалена от боковых граней, а также от боковых ребер?

Данное утверждение верно. Прямая, проходящая через центры оснований правильной призмы, является ее осью симметрии. Рассмотрим свойства точек на этой оси:

1. Равноудаленность от боковых граней. Ось симметрии проходит через центр основания, который по определению равноудален от всех сторон правильного многоугольника. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности (апофеме), обозначим его $r$. Так как боковые грани перпендикулярны основанию и строятся на его сторонах, любая точка на оси призмы будет равноудалена от всех боковых граней на расстояние $r$.

2. Равноудаленность от боковых ребер. Аналогично, центр основания равноудален от всех вершин правильного многоугольника. Это расстояние равно радиусу описанной окружности, обозначим его $R$. Так как боковые ребра перпендикулярны основанию и проходят через его вершины, любая точка на оси призмы будет равноудалена от всех боковых ребер на расстояние $R$.

Утверждение объединяет два этих верных факта. Любая точка на оси равноудалена от всех боковых граней (расстояние между точкой и любой гранью одинаково) и также равноудалена от всех боковых ребер (расстояние между точкой и любым ребром одинаково). Поэтому утверждение в целом является верным.

Важно отметить, что в общем случае расстояние от точки на оси до боковой грани ($r$) не равно расстоянию от той же точки до бокового ребра ($R$). Равенство $r = R$ для правильного многоугольника не выполняется ни при каком конечном числе сторон $n \ge 3$.

Ответ: да, верно.