Номер 8, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Верно ли, что у прямоугольного параллелепипеда:

а) есть три оси симметрии;

б) есть три плоскости симметрии;

в) квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений;

г) все четыре диагонали равны друг другу;

д) с двумя равными измерениями есть пять плоскостей симметрии;

е) с тремя равными измерениями есть девять плоскостей симметрии;

ж) с тремя равными измерениями есть девять осей симметрии?

а) есть три оси симметрии;
Да, это верно. У любого прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина, высота) различны, есть ровно три оси симметрии. Каждая из них проходит через центры противоположных граней. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой из этих осей параллелепипед совмещается сам с собой. Эти три оси взаимно перпендикулярны.
Ответ: Верно.

б) есть три плоскости симметрии;
Да, это верно. У любого прямоугольного параллелепипеда (в общем случае) есть ровно три плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей проходит через центр симметрии параллелепипеда и параллельна одной из пар его граней. Каждая такая плоскость делит параллелепипед на две зеркально равные части.
Ответ: Верно.

в) квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений;
Да, это верно. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. Рассмотрим диагональ $d$. Ее можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является ребро с длиной $c$, а другим — диагональ грани (основания) с длиной $d_{ab}$. По теореме Пифагора, $d^2 = d_{ab}^2 + c^2$. В свою очередь, диагональ основания $d_{ab}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$, поэтому $d_{ab}^2 = a^2 + b^2$. Подставив это в первое равенство, получаем: $d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Ответ: Верно.

г) все четыре диагонали равны друг другу;
Да, это верно. Прямоугольный параллелепипед имеет 4 большие диагонали, соединяющие противоположные вершины. Как показано в предыдущем пункте, длина любой диагонали $d$ определяется по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — измерения параллелепипеда. Так как эти измерения для данной фигуры постоянны, то и длины всех четырех диагоналей одинаковы.
Ответ: Верно.

д) с двумя равными измерениями есть пять плоскостей симметрии;
Да, это верно. Если у прямоугольного параллелепипеда два измерения равны (например, $a=b$), то в его основании лежит квадрат. Такой параллелепипед (прямая четырехугольная призма с квадратным основанием) имеет:
1. Три плоскости симметрии, параллельные граням (как у любого параллелепипеда).
2. Две дополнительные диагональные плоскости симметрии, которые проходят через диагонали квадратных оснований.
Итого получается $3 + 2 = 5$ плоскостей симметрии.
Ответ: Верно.

е) с тремя равными измерениями есть девять плоскостей симметрии;
Да, это верно. Прямоугольный параллелепипед с тремя равными измерениями — это куб. У куба есть два типа плоскостей симметрии:
1. Три плоскости, проходящие через центры противолежащих граней (параллельно граням).
2. Шесть диагональных плоскостей, каждая из которых проходит через пару противолежащих ребер.
В сумме это дает $3 + 6 = 9$ плоскостей симметрии.
Ответ: Верно.

ж) с тремя равными измерениями есть девять осей симметрии?
Нет, это неверно. Прямоугольный параллелепипед с тремя равными измерениями — это куб. У куба существует 13 осей симметрии:
1. Три оси, проходящие через центры противолежащих граней.
2. Шесть осей, проходящие через середины противолежащих ребер.
3. Четыре оси, проходящие через противолежащие вершины (главные диагонали куба).
Общее количество осей симметрии равно $3 + 6 + 4 = 13$, а не 9.
Ответ: Неверно.