Номер 13, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 24 см и 10 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед. Обозначим стороны его основания как $a$ и $b$, а боковое ребро (высоту) как $h$. По условию $a = 24$ см, $b = 10$ см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдем диагональ основания $d$. Основание является прямоугольником, поэтому его диагональ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного сторонами основания:

$d^2 = a^2 + b^2$

Подставим значения сторон:

$d^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$

$d = \sqrt{676} = 26$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют диагональ параллелепипеда, ее проекция на основание (которой и является диагональ основания $d$) и боковое ребро $h$. В этом треугольнике:
- катет, прилежащий к углу $\alpha$, – это диагональ основания $d = 26$ см.
- катет, противолежащий углу $\alpha$, – это боковое ребро $h$.
- угол $\alpha$ между гипотенузой (диагональю параллелепипеда) и катетом $d$ равен $45^\circ$.

3. Для нахождения бокового ребра $h$ воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{d}$

Подставим известные значения:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{26}$

Так как значение $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{h}{26}$

Отсюда следует, что $h = 26$ см.

Можно было рассуждать и иначе: так как в рассматриваемом прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $h = d$. Поскольку $d = 26$ см, то и $h = 26$ см.

Ответ: 26 см.