Номер 16, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями 50 см и 18 см и высотой 16 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему углу в основании призмы. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобедренной трапеции, лежащей в основании.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = 50$ см, $BC = 18$ см, и высотой $h = 16$ см.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки $AH$ и $KD$ равны. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 18$ см.

Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{AD - BC}{2} = \frac{50 - 18}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем катет $AH = 16$ см и катет $BH$ (высота трапеции) равен $16$ см. Найдем тангенс угла $\angle A$:
$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{16}{16} = 1$
Отсюда следует, что угол $\angle A = 45^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основаниях равны:
$\angle D = \angle A = 45^\circ$

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Поэтому углы при меньшем основании равны:
$\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Следовательно, двугранные углы при боковых ребрах призмы, соответствующие вершинам $A$ и $D$ трапеции, равны $45^\circ$, а двугранные углы, соответствующие вершинам $B$ и $C$, равны $135^\circ$.

Ответ: два двугранных угла по $45^\circ$ и два двугранных угла по $135^\circ$.