Номер 7, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Верно ли, что у прямого параллелепипеда есть:

а) ось симметрии;

б) плоскость симметрии?

Для ответа на этот вопрос определим, что такое прямой параллелепипед, ось симметрии и плоскость симметрии.

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны плоскостям оснований. Основаниями прямого параллелепипеда являются два равных параллелограмма, а боковые грани являются прямоугольниками.

Ось симметрии фигуры — это такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), фигура совмещается сама с собой.

Плоскость симметрии фигуры — это такая плоскость, при зеркальном отражении относительно которой фигура совмещается сама с собой.

Да, утверждение верно. У любого прямого параллелепипеда есть ось симметрии.

Рассмотрим произвольный прямой параллелепипед. Его основаниями являются два равных параллелограмма. У любого параллелограмма есть центр симметрии — точка пересечения его диагоналей. Обозначим центры симметрии нижнего и верхнего оснований как $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Проведём прямую $l$ через точки $O_1$ и $O_2$. Так как боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основаниям, то и прямая $l$, соединяющая центры оснований, будет перпендикулярна плоскостям оснований.

Рассмотрим поворот параллелепипеда вокруг оси $l$ на угол $180^\circ$ ($ \pi $ радиан).

При таком повороте плоскость нижнего основания и плоскость верхнего основания переходят сами в себя. Поскольку $O_1$ и $O_2$ — центры симметрии оснований, то при повороте на $180^\circ$ вокруг этих точек (и, следовательно, вокруг оси $l$) каждый из параллелограммов-оснований переходит сам в себя. Например, вершина $A$ нижнего основания перейдёт в противоположную ей вершину $C$, а вершина $B$ — в $D$. Аналогично для верхнего основания.

Боковые рёбра при таком повороте также переходят в боковые рёбра. Например, ребро, выходящее из вершины $A$, перейдёт в ребро, выходящее из вершины $C$. Таким образом, вся фигура совмещается сама с собой.

Следовательно, у любого прямого параллелепипеда есть как минимум одна ось симметрии — прямая, проходящая через центры его оснований.

Ответ: Да, верно.

Да, утверждение верно. У любого прямого параллелепипеда есть плоскость симметрии.

Рассмотрим произвольный прямой параллелепипед. Пусть его основания лежат в параллельных плоскостях $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Расстояние между этими плоскостями является высотой параллелепипеда, обозначим ее $h$.

Проведём плоскость $\beta$ параллельно плоскостям оснований и на равном расстоянии от них (то есть на расстоянии $h/2$ от каждой). Эта плоскость будет проходить через середины всех боковых рёбер.

Рассмотрим зеркальное отражение (симметрию) параллелепипеда относительно плоскости $\beta$.

При таком отражении любая точка $P$ нижнего основания переходит в точку $P'$, расположенную в плоскости верхнего основания, так как плоскость $\beta$ равноудалена от обеих плоскостей оснований. Поскольку основания являются равными и параллельными параллелограммами, расположенными "один над другим", то всё нижнее основание отобразится на верхнее основание.

Аналогично, верхнее основание отобразится на нижнее основание.

Точки, лежащие на боковых гранях, также перейдут в точки, лежащие на боковых гранях. Всякая точка, принадлежащая параллелепипеду, перейдет в точку, также принадлежащую ему.

Таким образом, вся фигура переходит в себя при отражении относительно плоскости $\beta$.

Следовательно, у любого прямого параллелепипеда есть как минимум одна плоскость симметрии — плоскость, параллельная основаниям и проходящая через середину высоты.

Ответ: Да, верно.