Номер 444, страница 67 - гдз по химии 11 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

444. *Внимательно рассмотрите элементарную ячейку алмаза на рисунке 38 учебного пособия «Химия. 11 класс». Какое число атомов углерода полностью принадлежит одной элементарной ячейке? Длина ребра кубической элементарной ячейки, изображённой на рисунке, составляет 0,357 нм. Рассчитайте плотность алмаза.

Число атомов углерода, принадлежащих одной элементарной ячейке

Элементарная ячейка алмаза имеет кубическую структуру. Атомы углерода в ней располагаются в следующих позициях:

1. В 8 вершинах куба. Каждый из этих атомов принадлежит одновременно 8 ячейкам, поэтому его вклад в одну ячейку составляет $1/8$.

2. В центрах 6 граней куба. Каждый из них принадлежит 2 ячейкам, вклад каждого составляет $1/2$.

3. Внутри объёма ячейки. Таких атомов 4, и каждый из них принадлежит ячейке полностью.

Таким образом, на вопрос «Какое число атомов углерода полностью принадлежит одной элементарной ячейке?» ответом является 4 атома.

Однако для характеристики кристаллической решетки и для последующих расчетов (например, плотности) необходимо найти общее (эффективное) число атомов ($Z$), приходящееся на одну элементарную ячейку. Оно рассчитывается как сумма вкладов от всех атомов:

$Z = 8 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 1 = 1 + 3 + 4 = 8$

Ответ: Полностью внутри ячейки находятся 4 атома углерода. Эффективное число атомов, приходящееся на одну элементарную ячейку, которое используется для расчетов, составляет 8.

Расчет плотности алмаза

Дано:

$Z = 8$ (эффективное число атомов в ячейке)

$a = 0.357 \text{ нм}$ (длина ребра ячейки)

$M(C) \approx 12.011 \text{ г/моль}$ (молярная масса углерода)

$N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ (постоянная Авогадро)

$a = 0.357 \text{ нм} = 0.357 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

$M(C) = 12.011 \text{ г/моль} = 0.012011 \text{ кг/моль}$

Найти:

$\rho$ — плотность алмаза.

Решение:

Плотность вещества $(\rho)$ можно рассчитать как отношение массы элементарной ячейки $(m_{яч})$ к её объему $(V_{яч})$:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}}$

Объем кубической элементарной ячейки вычисляется по формуле:

$V_{яч} = a^3$

Масса элементарной ячейки равна произведению числа атомов в ней ($Z$) на массу одного атома углерода ($m_{ат}$). Массу одного атома можно найти, разделив молярную массу углерода ($M(C)$) на число Авогадро ($N_A$):

$m_{яч} = Z \cdot m_{ат} = \frac{Z \cdot M(C)}{N_A}$

Объединив формулы, получаем итоговое выражение для плотности:

$\rho = \frac{Z \cdot M(C)}{a^3 \cdot N_A}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\rho = \frac{8 \cdot 0.012011 \text{ кг/моль}}{(0.357 \cdot 10^{-9} \text{ м})^3 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = \frac{0.096088}{(0.045505 \cdot 10^{-27}) \cdot (6.022 \cdot 10^{23})} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho \approx \frac{0.096088}{2.740 \cdot 10^{-5}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 3507 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Округлим результат до трёх значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных ($a = 0.357$ нм).

Ответ: $\rho \approx 3.51 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$ (или $3.51 \text{ г/см}^3$).