Номер 17, страница 154 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

17. Старинная задача.

Торговец продал последний персик за 23 р. и подсчитал, что средняя цена персиков составила 24 р. 50 к. Но покупатель вернул этот персик, указав на червоточину. Второй раз торговец продал его за 15 р. 80 к. Средняя цена оказалась равной 24 р. 20 к. Сколько персиков продал торговец?

Для решения задачи переведем все цены в копейки, чтобы избежать работы с десятичными дробями.
23 р. = 2300 к.
24 р. 50 к. = 2450 к.
15 р. 80 к. = 1580 к.
24 р. 20 к. = 2420 к.

Пусть $N$ — общее количество проданных персиков, а $S$ — суммарная стоимость первых $N-1$ персиков (всех, кроме последнего).

Рассмотрим первую ситуацию:
Торговец продал последний персик за 2300 к. Общая выручка за все $N$ персиков составила $S + 2300$ к.
Средняя цена одного персика, по условию, равна 2450 к.
Средняя цена вычисляется как общая выручка, деленная на количество персиков. Таким образом, общая выручка также равна $N \times 2450$.
Получаем первое уравнение: $S + 2300 = 2450N$.

Рассмотрим вторую ситуацию:
Покупатель вернул последний персик, и торговец продал его снова, но уже за 1580 к. Теперь общая выручка за все $N$ персиков составляет $S + 1580$ к.
Новая средняя цена одного персика, по условию, равна 2420 к.
Следовательно, новая общая выручка также равна $N \times 2420$.
Получаем второе уравнение: $S + 1580 = 2420N$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} S + 2300 = 2450N \\ S + 1580 = 2420N \end{cases} $
Выразим $S$ из обоих уравнений:
$S = 2450N - 2300$
$S = 2420N - 1580$
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:
$2450N - 2300 = 2420N - 1580$
Теперь решим это уравнение относительно $N$:
$2450N - 2420N = 2300 - 1580$
$30N = 720$
$N = \frac{720}{30}$
$N = 24$

Таким образом, всего торговец продал 24 персика.

Альтернативный способ решения:
Общее количество персиков $N$ в обеих ситуациях одинаково. Разница в общей выручке возникла только из-за изменения цены последнего персика.
Разница в цене последнего персика: $2300 \text{ к.} - 1580 \text{ к.} = 720 \text{ к.}$
Эта разница в 720 к. привела к изменению средней цены.
Разница в средней цене: $2450 \text{ к.} - 2420 \text{ к.} = 30 \text{ к.}$
Изменение общей выручки можно также рассчитать через изменение средней цены, умноженное на количество персиков: $30 \times N$.
Приравниваем два выражения для изменения общей выручки:
$30N = 720$
$N = \frac{720}{30} = 24$

Ответ: 24 персика.