Номер 12, страница 153 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. а) Среднее арифметическое двух чисел равно 30. Найдите каждое из чисел, если одно из них в $1\frac{1}{2}$ раза больше другого.

б) Среднее арифметическое двух чисел равно $3\frac{1}{4}$. Найдите каждое из чисел, если одно из них на 1 меньше другого.

а)

Обозначим два неизвестных числа как $x$ и $y$.

Среднее арифметическое двух чисел определяется как их сумма, деленная на 2. По условию задачи, оно равно 30.

$\frac{x+y}{2} = 30$

Из этого уравнения можно найти сумму этих чисел:

$x+y = 30 \times 2 = 60$

Второе условие гласит, что одно из чисел в $1\frac{1}{2}$ раза больше другого. Преобразуем смешанное число в десятичную дробь для удобства: $1\frac{1}{2} = 1.5$.

Предположим, что $x$ больше $y$. Тогда можно записать: $x = 1.5y$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

1) $x+y = 60$

2) $x = 1.5y$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$1.5y + y = 60$

$2.5y = 60$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{60}{2.5} = \frac{600}{25} = 24$

Мы нашли одно число. Чтобы найти второе число $x$, подставим значение $y$ в первое уравнение:

$x = 60 - y = 60 - 24 = 36$

Таким образом, искомые числа — это 24 и 36.

Проверка: среднее арифметическое этих чисел равно $\frac{24+36}{2} = \frac{60}{2} = 30$. Отношение большего числа к меньшему равно $\frac{36}{24} = 1.5 = 1\frac{1}{2}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 24 и 36.

б)

Пусть два искомых числа — это $a$ и $b$.

Среднее арифметическое этих чисел равно $3\frac{1}{4}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{a+b}{2} = 3\frac{1}{4}$

Переведем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \times 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{a+b}{2} = \frac{13}{4}$

Найдем сумму чисел $a$ и $b$:

$a+b = 2 \times \frac{13}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6.5$

Согласно второму условию, одно из чисел на 1 меньше другого. Допустим, $a$ меньше $b$:

$a = b - 1$

Мы получили систему уравнений:

1) $a+b = 6.5$

2) $a = b - 1$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(b - 1) + b = 6.5$

$2b - 1 = 6.5$

$2b = 6.5 + 1$

$2b = 7.5$

$b = \frac{7.5}{2} = 3.75$

Теперь найдем второе число $a$:

$a = b - 1 = 3.75 - 1 = 2.75$

Искомые числа — 2,75 и 3,75.

Проверка: разница чисел $3.75 - 2.75 = 1$. Среднее арифметическое $\frac{2.75+3.75}{2} = \frac{6.5}{2} = 3.25$. Это значение равно $3\frac{1}{4}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 2,75 и 3,75.