Номер 2, страница 186 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

2. Пруд имеет форму квадрата, в вершинах которого растут деревья. Как увеличить вдвое поверхность пруда, сохранив его форму и не трогая деревьев?

Это классическая задача на пространственное мышление. Для её решения необходимо мысленно (или на бумаге) изменить ориентацию пруда.

Решение

Пусть первоначальный пруд имеет форму квадрата со стороной $a$. Его площадь $S_1$ равна $a^2$. В вершинах этого квадрата растут четыре дерева.

Задача состоит в том, чтобы получить новый пруд, который также имеет форму квадрата, но с площадью вдвое большей, то есть $S_2 = 2S_1 = 2a^2$. При этом деревья должны остаться на своих местах. Если новый квадрат будет иметь сторону $b$, то его площадь будет $b^2$. Следовательно, нам нужно, чтобы $b^2 = 2a^2$, откуда новая сторона $b = a\sqrt{2}$.

Интересно, что длина диагонали исходного квадрата со стороной $a$ как раз равна $a\sqrt{2}$. Это и есть ключ к разгадке.

Решение заключается в том, чтобы повернуть квадратный пруд на 45 градусов относительно его центра и увеличить его так, чтобы деревья оказались на серединах сторон нового квадрата.

Доказательство:

Представим новый, большой квадратный пруд (назовем его $PQRS$). Деревья (вершины старого квадрата, назовем его $ABCD$) теперь находятся на серединах его сторон. Например, дерево $B$ — середина стороны $PQ$, а дерево $C$ — середина стороны $QR$.

Рассмотрим треугольник $BQC$. Угол при вершине $Q$ прямой ($90^\circ$), так как $PQRS$ — квадрат. Поскольку $B$ и $C$ — середины сторон $PQ$ и $QR$, то катеты $BQ$ и $QC$ равны половине стороны нового квадрата: $BQ = QC = b/2$.

Сторона старого квадрата $BC$ (равная $a$) является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$BC^2 = BQ^2 + QC^2$

$a^2 = (\frac{b}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2$

$a^2 = \frac{b^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{2b^2}{4} = \frac{b^2}{2}$

Отсюда мы получаем, что $b^2 = 2a^2$. Это означает, что площадь нового квадрата ($b^2$) ровно в два раза больше площади старого ($a^2$).

Таким образом, все условия задачи выполнены: пруд сохранил квадратную форму, его площадь увеличилась вдвое, а деревья остались нетронутыми, оказавшись на новой береговой линии.

Ответ: Необходимо расширить пруд, повернув его границы на 45 градусов таким образом, чтобы деревья, которые были в углах старого пруда, оказались точно посередине каждой из сторон нового пруда.