Номер 6, страница 185 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

6. В забеге на $1000$ м участвовали Егор, Слава, Павел и Андрей. После окончания соревнований каждого из них спросили, какое место он занял. Ребята дали следующие ответы:

Егор: «Я не был ни первым, ни последним».

Слава: «Я не был первым».

Павел: «Я был первым».

Андрей: «Я был последним».

Оказалось, что трое сказали правду, а один солгал. Кто победил в забеге?

Для решения этой логической задачи необходимо проанализировать высказывания четырех участников забега и учесть условие, что трое из них сказали правду, а один солгал. В забеге участвовали 4 человека, следовательно, были распределены четыре места: 1-е, 2-е, 3-е и 4-е (последнее).

Вспомним высказывания каждого из ребят:

• Егор: «Я не был ни первым, ни последним». Если это правда, то Егор занял 2-е или 3-е место.
• Слава: «Я не был первым». Если это правда, то Слава занял 2-е, 3-е или 4-е место.
• Павел: «Я был первым». Если это правда, то Павел — победитель.
• Андрей: «Я был последним». Если это правда, то Андрей занял 4-е место.

Чтобы найти лжеца, будем последовательно проверять каждого участника, исходя из предположения, что он солгал.

1. Мог ли солгать Павел?

Допустим, Павел солгал. Тогда его утверждение «Я был первым» является ложью, а значит, Павел не был первым. В этом случае все остальные участники (Егор, Слава и Андрей) должны говорить правду.
Их правдивые утверждения означают:

• Егор занял 2-е или 3-е место.
• Андрей занял 4-е место.
• Слава не был первым.

Но если всё это правда, то кто же занял первое место? Не Павел (он солгал), не Егор (он 2-й или 3-й), не Андрей (он 4-й) и не Слава (он правдиво сказал, что не был первым). Получается, что первое место не занял никто, что является абсурдом. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Павел не лжец, он сказал правду.

2. Павел сказал правду. Кто тогда лжец?

Мы установили, что Павел сказал правду. Это ключевой факт решения.
Павел занял 1-е место.
Раз Павел действительно был первым, то утверждение Славы «Я не был первым» также является правдой.
Теперь у нас есть уже два участника, сказавших правду: Павел и Слава.
Поскольку лжец только один, он должен быть либо Егором, либо Андреем.
Рассмотрим утверждение Егора: «Я не был ни первым, ни последним». Так как 1-е место занял Павел, то первая часть этого утверждения («не был первым») верна. Если Егор лжет, то он должен быть последним, то есть 4-м.
Рассмотрим утверждение Андрея: «Я был последним».
Если предположить, что Егор лжет, то он занял 4-е место. Тогда Андрей должен говорить правду, но он тоже утверждает, что был последним (4-м). Два человека не могут занять одно и то же место. Противоречие.
Значит, единственно возможный вариант — солгал Андрей.

3. Проверка: Андрей — лжец.

Допустим, солгал Андрей. Его утверждение «Я был последним» — ложь. Значит, Андрей занял любое место, кроме 4-го.
Остальные трое сказали правду:

• Павел был первым (1-е место).
• Слава не был первым (что соответствует 1-му месту Павла).
• Егор не был ни первым, ни последним (значит, он занял 2-е или 3-е место).

Теперь распределим места:

• 1-е место: Павел.
• 2-е и 3-е места: Егор (сказал правду) и Андрей (солгал, что был последним, значит, он не 4-й).
• 4-е место: Остается только Слава.

Эта расстановка полностью соответствует всем условиям:

• Павел (1-й) — сказал правду.
• Егор (2-й или 3-й) — сказал правду.
• Слава (4-й) — сказал правду («я не был первым»).
• Андрей (2-й или 3-й) — солгал («я был последним»).

Все сходится. Три правдивых утверждения и одно ложное. Победитель в забеге — тот, кто занял 1-е место.

Ответ: В забеге победил Павел.