Номер 4, страница 166 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно прямой $a$ (рис. 24). Перенесите рисунок в тетрадь и постройте ещё две пары симметричных точек относительно прямой $a$.

Рис. 24

Для решения этой задачи необходимо построить еще две пары точек, симметричных относительно прямой $a$. Точки называются симметричными относительно некоторой прямой, если эта прямая является перпендикулярным биссектором отрезка, соединяющего эти точки. Иначе говоря, отрезок, соединяющий симметричные точки, должен быть перпендикулярен оси симметрии и делиться ею пополам.

Алгоритм построения симметричной точки следующий:

1. Выбрать произвольную точку, для которой нужно построить симметричную.
2. Провести из этой точки перпендикуляр к прямой $a$.
3. Измерить расстояние от точки до прямой $a$ вдоль этого перпендикуляра.
4. Отложить такое же расстояние на перпендикуляре по другую сторону от прямой $a$. Полученная точка будет симметричной исходной.

Выполним это построение для двух новых пар точек.

Построение первой пары точек $B$ и $B_1$

Выберем произвольную точку $B$ с одной стороны от прямой $a$. Проведем через нее прямую, перпендикулярную прямой $a$, и на этой прямой отложим отрезок такой же длины по другую сторону от $a$. Получим точку $B_1$. Точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $a$.

Построение второй пары точек $C$ и $C_1$

Аналогично выберем другую произвольную точку $C$. Построим для нее симметричную точку $C_1$, проведя перпендикуляр к прямой $a$ и отложив равное расстояние с другой стороны. Точки $C$ и $C_1$ также будут симметричны относительно прямой $a$.

На рисунке ниже показан результат построения. Исходная пара точек — ($A, A_1$). Новые построенные пары симметричных точек — ($B, B_1$) и ($C, C_1$).

Для каждой пары точек выполняется условие симметрии:

• Отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $a$ ($AA_1 \perp a$), и прямая $a$ делит его пополам.
• Отрезок $BB_1$ перпендикулярен прямой $a$ ($BB_1 \perp a$), и прямая $a$ делит его пополам (показано двойными штрихами).
• Отрезок $CC_1$ перпендикулярен прямой $a$ ($CC_1 \perp a$), и прямая $a$ делит его пополам (показано тройными штрихами).