Номер 15, страница 215 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Для запуска ракет в космическое пространство используют два вида топлива: А и В. Количество топлива, необходимого для взлета ракеты массой $x$ тонн, задается функциями $f(x)=\left(\frac{x}{10}\right)^2$ и $g(x)=\left(\frac{x}{10}\right)^3$ для топлива А и В соответственно.

а) Начертите графики функций $f(x)$ и $g(x)$, выбрав соответствующий масштаб.

б) Определите взаимное расположение графиков функций.

в) Какое топливо лучше использовать, чтобы осуществить запуск ракеты массой: 1) 9 т; 2) 13 т?

В задаче рассматриваются две функции, описывающие количество необходимого топлива (в условных единицах) в зависимости от массы ракеты $x$ (в тоннах):
Для топлива A: $f(x) = \left(\frac{x}{10}\right)^2 = \frac{x^2}{100}$
Для топлива B: $g(x) = \left(\frac{x}{10}\right)^3 = \frac{x^3}{1000}$
Поскольку масса ракеты $x$ не может быть отрицательной, мы будем рассматривать графики функций только при $x \ge 0$.

а) Начертите графики функций f(x) и g(x), выбрав соответствующий масштаб.

Для построения графиков составим таблицу значений для нескольких точек.

График функции $f(x)$ — это ветвь параболы, а график $g(x)$ — ветвь кубической параболы. Начертим их в одной системе координат.

Ответ: Графики функций построены на рисунке выше.

б) Определите взаимное расположение графиков функций.

Чтобы определить взаимное расположение, найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\left(\frac{x}{10}\right)^2 = \left(\frac{x}{10}\right)^3$
Перенесем все в одну сторону:
$\left(\frac{x}{10}\right)^3 - \left(\frac{x}{10}\right)^2 = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\left(\frac{x}{10}\right)^2 \left(\frac{x}{10} - 1\right) = 0$
Это уравнение имеет два решения:
1) $\left(\frac{x}{10}\right)^2 = 0 \implies \frac{x}{10} = 0 \implies x = 0$.
2) $\frac{x}{10} - 1 = 0 \implies \frac{x}{10} = 1 \implies x = 10$.
Таким образом, графики пересекаются в двух точках: при $x=0$ (координаты $(0, 0)$) и при $x=10$ (координаты $(10, 1)$).
Теперь сравним значения функций на интервалах $(0, 10)$ и $(10, +\infty)$.
- На интервале $0 < x < 10$, значение дроби $\frac{x}{10}$ меньше 1. При возведении числа, меньшего 1, в большую степень, результат становится меньше. Следовательно, $\left(\frac{x}{10}\right)^3 < \left(\frac{x}{10}\right)^2$, то есть $g(x) < f(x)$. На этом интервале график функции $g(x)$ лежит ниже графика $f(x)$.
- На интервале $x > 10$, значение дроби $\frac{x}{10}$ больше 1. При возведении числа, большего 1, в большую степень, результат становится больше. Следовательно, $\left(\frac{x}{10}\right)^3 > \left(\frac{x}{10}\right)^2$, то есть $g(x) > f(x)$. На этом интервале график функции $g(x)$ лежит выше графика $f(x)$.

Ответ: Графики функций пересекаются в точках $(0; 0)$ и $(10; 1)$. При $x \in (0, 10)$ график $g(x)$ расположен ниже графика $f(x)$. При $x \in (10, +\infty)$ график $g(x)$ расположен выше графика $f(x)$.

в) Какое топливо лучше использовать, чтобы осуществить запуск ракеты массой: 1) 9 т; 2) 13 т?

"Лучше" означает "требуется меньше топлива". Следовательно, нам нужно выбрать топливо, для которого значение функции ($f(x)$ или $g(x)$) будет меньше при заданной массе $x$.

1) Масса ракеты 9 т ($x = 9$)
Поскольку $9 \in (0, 10)$, из пункта б) мы знаем, что на этом интервале $g(x) < f(x)$. Проверим это расчетом:
Топливо A: $f(9) = \left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0.9^2 = 0.81$
Топливо B: $g(9) = \left(\frac{9}{10}\right)^3 = 0.9^3 = 0.729$
Так как $0.729 < 0.81$, для ракеты массой 9 т лучше использовать топливо B.

2) Масса ракеты 13 т ($x = 13$)
Поскольку $13 > 10$, из пункта б) мы знаем, что на этом интервале $f(x) < g(x)$. Проверим это расчетом:
Топливо A: $f(13) = \left(\frac{13}{10}\right)^2 = 1.3^2 = 1.69$
Топливо B: $g(13) = \left(\frac{13}{10}\right)^3 = 1.3^3 = 2.197$
Так как $1.69 < 2.197$, для ракеты массой 13 т лучше использовать топливо A.

Ответ: 1) для ракеты массой 9 т лучше использовать топливо B; 2) для ракеты массой 13 т лучше использовать топливо A.