Номер 16, страница 215 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16. Ковер Серпинского получается, если разделить квадрат на 9 равных частей и удалить центральную; далее поступают так же с каждым из восьми оставшихся квадратов; на следующем этапе — с каждым из 64 и т. д. (рис. 36).

n=0 n=1 n=2 n=3

Рис. 36

Пусть $a_n$ — площадь удаленных квадратов на $n$-м шагу. Тогда $a_1 = \frac{1}{9}$.

а) Определите $a_2$.

б) Верно ли, что $a_{n+1} = \frac{8}{9}a_n + \frac{1}{9}$?

в) Используйте формулу из п. б), чтобы найти $a_3$ и $a_4$.

а)Пусть площадь исходного квадрата (на шаге $n=0$) равна 1. На первом шаге ($n=1$) из него вырезается центральный квадрат. Так как исходный квадрат делится на 9 равных частей, площадь удаленного квадрата составляет $\frac{1}{9}$. По определению $a_n$ — это суммарная площадь удаленных квадратов, поэтому $a_1 = \frac{1}{9}$. На втором шаге ($n=2$) процедура повторяется для каждого из 8 оставшихся квадратов. Площадь каждого из этих квадратов равна $\frac{1}{9}$. Из каждого из них вырезается центральный квадрат площадью $\frac{1}{9}$ от его площади, то есть $\frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{81}$. Так как таких квадратов 8, суммарная площадь, удаленная именно на втором шаге, равна $8 \times \frac{1}{81} = \frac{8}{81}$. Общая удаленная площадь после второго шага, $a_2$, — это сумма площадей, удаленных на первом и втором шагах:$a_2 = a_1 + \frac{8}{81} = \frac{1}{9} + \frac{8}{81} = \frac{9}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$.

Ответ: $a_2 = \frac{17}{81}$.

б)Для проверки формулы $a_{n+1} = \frac{8}{9}a_n + \frac{1}{9}$ рассмотрим площадь ковра $R_n$, которая остается после $n$-го шага. Суммарная площадь удаленных и оставшихся частей всегда равна 1 (площади исходного квадрата), поэтому $R_n = 1 - a_n$. На каждом следующем шаге из оставшейся площади $R_n$ удаляется $\frac{1}{9}$ ее часть, а $\frac{8}{9}$ остается. Это означает, что площадь, оставшаяся после шага $n+1$, связана с площадью, оставшейся после шага $n$, соотношением:$R_{n+1} = \frac{8}{9}R_n$. Заменим $R_n$ и $R_{n+1}$ на выражения через $a_n$ и $a_{n+1}$:$1 - a_{n+1} = \frac{8}{9}(1 - a_n)$. Теперь выразим $a_{n+1}$ из этого уравнения:$1 - a_{n+1} = \frac{8}{9} - \frac{8}{9}a_n$$a_{n+1} = 1 - \frac{8}{9} + \frac{8}{9}a_n$$a_{n+1} = \frac{1}{9} + \frac{8}{9}a_n$. Это совпадает с формулой в условии, следовательно, она верна.

Ответ: Да, верно.

в)Воспользуемся рекуррентной формулой из пункта б): $a_{n+1} = \frac{8}{9}a_n + \frac{1}{9}$. Нам известны $a_1 = \frac{1}{9}$ и $a_2 = \frac{17}{81}$ (из п. а). Найдем $a_3$, подставив в формулу $n=2$:$a_3 = \frac{8}{9}a_2 + \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{17}{81} + \frac{1}{9} = \frac{136}{729} + \frac{81}{729} = \frac{136 + 81}{729} = \frac{217}{729}$. Теперь найдем $a_4$, подставив в формулу $n=3$:$a_4 = \frac{8}{9}a_3 + \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{217}{729} + \frac{1}{9} = \frac{1736}{6561} + \frac{729}{6561} = \frac{1736 + 729}{6561} = \frac{2465}{6561}$.

Ответ: $a_3 = \frac{217}{729}$, $a_4 = \frac{2465}{6561}$.