Номер 9, страница 213 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Студенты после занятий решили заказать пиццу. Каждый из них выразил свои предпочтения.

Таня: Мне с помидорами, но без курицы.

Андрей: Мне — без помидоров.

Леша: Мне с помидорами, но без грибов.

Тима: Мне без грибов, но с курицей.

Можно ли студентам обойтись покупкой двух пицц?

Для ответа на данный вопрос необходимо проанализировать предпочтения каждого студента и проверить, можно ли их всех удовлетворить с помощью двух пицц. Введем условные обозначения для ингредиентов, чтобы формализовать задачу.

Пусть наличие ингредиентов обозначается переменными:

• $П$ — помидоры
• $К$ — курица
• $Г$ — грибы

Тогда предпочтения каждого студента можно записать в виде логических выражений, где наличие ингредиента — это сама переменная, а его отсутствие — отрицание ($\neg$).

• Таня: «Мне с помидорами, но без курицы». Ее устроит пицца, которая удовлетворяет условию $П \land \neg К$.
• Андрей: «Мне — без помидоров». Его устроит пицца, которая удовлетворяет условию $\neg П$.
• Лёша: «Мне с помидорами, но без грибов». Его устроит пицца, которая удовлетворяет условию $П \land \neg Г$.
• Тима: «Мне без грибов, но с курицей». Его устроит пицца, которая удовлетворяет условию $\neg Г \land К$.

Теперь попробуем подобрать две пиццы, которые бы удовлетворили всех. Сгруппируем студентов по схожим предпочтениям. Таня и Лёша оба хотят пиццу с помидорами ($П$). Попробуем заказать для них одну общую пиццу.

Пицца 1:

Эта пицца должна быть с помидорами ($П$). Чтобы она подошла Тане, в ней не должно быть курицы ($\neg К$). Чтобы она подошла Лёше, в ней не должно быть грибов ($\neg Г$). Таким образом, состав первой пиццы должен быть: с помидорами, без курицы, без грибов. В виде формулы: $П \land \neg К \land \neg Г$.

• Проверка для Тани ($П \land \neg К$): Условие выполняется, так как пицца содержит помидоры и не содержит курицу.
• Проверка для Лёши ($П \land \neg Г$): Условие выполняется, так как пицца содержит помидоры и не содержит грибы.

Отлично, Таня и Лёша довольны первой пиццей.

Пицца 2:

Теперь подберем пиццу для Андрея и Тимы. Андрей хочет пиццу без помидоров ($\neg П$). Тима хочет пиццу без грибов ($\neg Г$) и с курицей ($К$). Попробуем совместить их пожелания. Состав второй пиццы может быть: без помидоров, с курицей, без грибов. В виде формулы: $\neg П \land К \land \neg Г$.

• Проверка для Андрея ($\neg П$): Условие выполняется, так как пицца не содержит помидоров.
• Проверка для Тимы ($\neg Г \land К$): Условие выполняется, так как пицца не содержит грибов, но содержит курицу.

Андрей и Тима тоже довольны. Мы смогли найти две пиццы, которые удовлетворяют требованиям всех четырех студентов.

Ответ: Да, студентам можно обойтись покупкой двух пицц. Например, можно заказать одну пиццу «с помидорами, без курицы и без грибов» (для Тани и Лёши) и вторую пиццу «с курицей, без помидоров и без грибов» (для Андрея и Тимы).