Номер 14, страница 214 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Каждый год в клубе любителей животных сохраняется целая часть 80 % всех его членов и прибывает 20 новых. В 2020 году было 200 членов. Рассмотрим последовательность числа членов клуба в $(2020 + n)$-м году.

а) Определите число членов в 2021 и 2022 годах.

б) Является ли эта последовательность арифметической или геометрической прогрессией?

в) С помощью калькулятора вычислите число членов клуба в 2030 году.

а) Определите число членов в 2021 и 2022 годах.

Пусть $C_n$ — это число членов клуба в $(2020 + n)$-м году. Из условия задачи, в 2020 году ($n=0$) было 200 членов, значит $C_0 = 200$. Каждый следующий год число членов определяется по правилу: сохраняется целая часть от 80% членов предыдущего года и добавляется 20 новых. Математически это можно записать в виде рекуррентной формулы: $C_{n+1} = \lfloor 0.8 \cdot C_n \rfloor + 20$, где $\lfloor x \rfloor$ — это функция взятия целой части числа $x$.

Вычислим число членов в 2021 году (соответствует $n=1$):
$C_1 = \lfloor 0.8 \cdot C_0 \rfloor + 20 = \lfloor 0.8 \cdot 200 \rfloor + 20 = \lfloor 160 \rfloor + 20 = 160 + 20 = 180$.

Теперь вычислим число членов в 2022 году (соответствует $n=2$), используя значение $C_1=180$:
$C_2 = \lfloor 0.8 \cdot C_1 \rfloor + 20 = \lfloor 0.8 \cdot 180 \rfloor + 20 = \lfloor 144 \rfloor + 20 = 144 + 20 = 164$.

Ответ: В 2021 году в клубе было 180 членов, а в 2022 году — 164 члена.

б) Является ли эта последовательность арифметической или геометрической прогрессией?

Проверим, является ли последовательность $C_0=200, C_1=180, C_2=164, \dots$ арифметической прогрессией. Для этого разность между последовательными членами должна быть постоянной.
Разность между первым и вторым членом: $d_1 = C_1 - C_0 = 180 - 200 = -20$.
Разность между вторым и третьим членом: $d_2 = C_2 - C_1 = 164 - 180 = -16$.
Поскольку $d_1 \neq d_2$, последовательность не является арифметической.

Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Для этого отношение последовательных членов должно быть постоянным.
Отношение второго члена к первому: $q_1 = C_1 / C_0 = 180 / 200 = 0.9$.
Отношение третьего члена ко второму: $q_2 = C_2 / C_1 = 164 / 180 = 41 / 45 \approx 0.911$.
Поскольку $q_1 \neq q_2$, последовательность не является геометрической.

Ответ: Эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

в) С помощью калькулятора вычислите число членов клуба в 2030 году.

Чтобы найти число членов в 2030 году, нам нужно найти значение $C_{10}$, так как $2030 = 2020 + 10$. Для этого нужно последовательно применить формулу $C_{n+1} = \lfloor 0.8 \cdot C_n \rfloor + 20$ десять раз.

Мы уже вычислили:
$C_0 = 200$ (2020 г.)
$C_1 = 180$ (2021 г.)
$C_2 = 164$ (2022 г.)
Продолжим вычисления:
$C_3 = \lfloor 0.8 \cdot 164 \rfloor + 20 = \lfloor 131.2 \rfloor + 20 = 131 + 20 = 151$ (2023 г.)
$C_4 = \lfloor 0.8 \cdot 151 \rfloor + 20 = \lfloor 120.8 \rfloor + 20 = 120 + 20 = 140$ (2024 г.)
$C_5 = \lfloor 0.8 \cdot 140 \rfloor + 20 = \lfloor 112 \rfloor + 20 = 112 + 20 = 132$ (2025 г.)
$C_6 = \lfloor 0.8 \cdot 132 \rfloor + 20 = \lfloor 105.6 \rfloor + 20 = 105 + 20 = 125$ (2026 г.)
$C_7 = \lfloor 0.8 \cdot 125 \rfloor + 20 = \lfloor 100 \rfloor + 20 = 100 + 20 = 120$ (2027 г.)
$C_8 = \lfloor 0.8 \cdot 120 \rfloor + 20 = \lfloor 96 \rfloor + 20 = 96 + 20 = 116$ (2028 г.)
$C_9 = \lfloor 0.8 \cdot 116 \rfloor + 20 = \lfloor 92.8 \rfloor + 20 = 92 + 20 = 112$ (2029 г.)
$C_{10} = \lfloor 0.8 \cdot 112 \rfloor + 20 = \lfloor 89.6 \rfloor + 20 = 89 + 20 = 109$ (2030 г.)

Ответ: В 2030 году в клубе будет 109 членов.