Номер 13, страница 214 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. В летнем лагере ребятам был предложен квест: из пункта А нужно было как можно быстрее попасть в пункт В на велосипедах. При этом возможны варианты пути:

1) по грунтовой дороге напрямую;

2) по шоссе через D до пункта C, затем повернуть налево под прямым углом на другое шоссе и доехать до пункта В;

3) доехать до пункта D, повернуть на грунтовую дорогу и далее до пункта В.

По шоссе можно двигаться со скоростью $25 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, по грунтовой дороге — со скоростью $12 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Расстояние от п. 4 до п. 2 (рис. 35) составляет 16 км, от п. 4 до п. 1 по шоссе — 50 км, от п. 4 до п. 3 по грунтовой дороге — 58 км.

Используйте описание и определите, каким цифрам на плане соответствуют буквенные обозначения пунктов, и заполните в тетради таблицу.

Обозначение буквами

A B C D

Обозначение цифрами

___ ___ ___ ___

Рис. 35

Определите время, которое может потребоваться на дорогу в каждом из трех случаев.

Для решения задачи сначала определим, каким цифрам на плане соответствуют буквенные обозначения A, B, C и D.

1. В описании маршрута №2 говорится о повороте «под прямым углом на другое шоссе». На плане такая возможность есть только в точке 1, которая является Т-образным перекрестком двух шоссе. Следовательно, пункт C — это точка 1.

2. В описании маршрута №1 говорится о пути «по грунтовой дороге напрямую» из A в B. На плане единственная грунтовая дорога соединяет точки 3 и 4. Значит, пункты A и B — это точки 3 и 4 (в каком-то порядке).

3. Рассмотрим маршрут №2: «по шоссе через D до пункта C, затем повернуть налево под прямым углом на другое шоссе и доехать до пункта B». Это полностью асфальтированный маршрут. Путь идет от A к B через C(1). Значит, A и B должны находиться на разных ветвях шоссе, отходящих от перекрестка C(1). Исходя из п.2, один из них — точка 3, а другой — точка 4. Таким образом, путь по шоссе должен быть либо 3→1→4, либо 4→1→3.

4. Рассмотрим маршрут №3: «доехать до пункта D, повернуть на грунтовую дорогу и далее до пункта B». Этот маршрут состоит из участка по шоссе (от A до D) и участка по грунтовой дороге (от D до B). Точка D — это место съезда с шоссе на грунтовую дорогу. На плане таких точек две: 3 и 4. Значит, D — это либо 3, либо 4. Поскольку участок D→B идет по грунтовой дороге (которая соединяет 3 и 4), то если D=3, то B=4, а если D=4, то B=3. Это подтверждает, что B — это либо 3, либо 4.

5. Объединим выводы. Пусть B=3. Тогда из п.2 следует, что A=4. Из п.4 следует, что D=4 для маршрута №3. Проверим маршрут №2: A(4) → D → C(1) → B(3). Этот путь по шоссе существует. Промежуточный пункт D на пути от A(4) к C(1) — это точка 2. Таким образом, мы получаем однозначное соответствие для всех пунктов, где D, упомянутый в общем списке, является пунктом из маршрута №2: A=4, B=3, C=1, D=2.

При такой расстановке маршрут №3 (от A=4 до B=3, съезжая на грунтовую дорогу в точке D) становится путем 4→4 (по шоссе) →3 (по грунтовке). Участок по шоссе имеет нулевую длину, и этот маршрут совпадает с маршрутом №1.

Заполним таблицу:

Теперь определим время, которое потребуется на дорогу в каждом из трех случаев.

Скорость по шоссе: $v_{ш} = 25$ км/ч.
Скорость по грунтовой дороге: $v_{г} = 12$ км/ч.

1) по грунтовой дороге напрямую;

Этот маршрут соответствует пути из A(4) в B(3) по грунтовой дороге. Расстояние дано в условии: $S_1 = 58$ км. Время в пути: $t_1 = \frac{S_1}{v_{г}} = \frac{58 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{29}{6}$ часа. Переведем в часы и минуты: $\frac{29}{6} \text{ ч} = 4 \frac{5}{6} \text{ ч} = 4 \text{ часа} + \frac{5}{6} \times 60 \text{ минут} = 4 \text{ часа } 50 \text{ минут}$.

Ответ: 4 часа 50 минут.

2) по шоссе через D до пункта C, затем повернуть налево под прямым углом на другое шоссе и доехать до пункта B;

Этот маршрут соответствует пути A(4) → D(2) → C(1) → B(3) полностью по шоссе. Общая длина пути $S_2$ складывается из двух участков: от 4 до 1 и от 1 до 3. Расстояние от 4 до 1 по шоссе дано: $S_{41} = 50$ км. Расстояние от 1 до 3 по шоссе ($S_{13}$) не дано. Однако, поскольку поворот в точке C(1) происходит под прямым углом, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник с вершинами в точках 1, 3 и 4. Катетами будут участки шоссе 1-4 и 1-3, а гипотенузой — грунтовая дорога 4-3. По теореме Пифагора: $S_{43}^2 = S_{41}^2 + S_{13}^2$. Нам известны $S_{43} = 58$ км (расстояние по грунтовой дороге) и $S_{41} = 50$ км. $58^2 = 50^2 + S_{13}^2$ $3364 = 2500 + S_{13}^2$ $S_{13}^2 = 3364 - 2500 = 864$ $S_{13} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \times 6} = 12\sqrt{6}$ км. Общее расстояние по шоссе: $S_2 = S_{41} + S_{13} = (50 + 12\sqrt{6})$ км. Время в пути: $t_2 = \frac{S_2}{v_{ш}} = \frac{50 + 12\sqrt{6}}{25} = 2 + \frac{12\sqrt{6}}{25}$ часа. Для практической оценки, $\sqrt{6} \approx 2.45$: $t_2 \approx 2 + \frac{12 \times 2.45}{25} = 2 + \frac{29.4}{25} \approx 2 + 1.176 = 3.176$ часа. Переведем в часы и минуты: $3.176 \text{ ч} = 3 \text{ часа} + 0.176 \times 60 \text{ минут} \approx 3 \text{ часа } 10.6 \text{ минут}$. Округляя, получаем примерно 3 часа 11 минут.

Ответ: $2 + \frac{12\sqrt{6}}{25}$ часа (приблизительно 3 часа 11 минут).

3) доехать до пункта D, повернуть на грунтовую дорогу и далее до пункта B.

Как было определено при идентификации точек, этот маршрут начинается в A(4) и заканчивается в B(3). Поворот на грунтовую дорогу, ведущую к B(3), возможен только в точке 4. Таким образом, участок по шоссе от A(4) до точки съезда D(4) имеет нулевую длину. Этот маршрут полностью совпадает с первым маршрутом — движение по грунтовой дороге от 4 до 3. Соответственно, время в пути будет таким же, как и в первом случае.

Ответ: 4 часа 50 минут.