Номер 12, страница 213 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. На Астор-плейс в Нью-Йорке установлена скульптура в форме черного куба (рис. 34). Тони Розенталь изготовил ее в 1967 г. из стали. Для этого ему потребовалась металлическая пластина площадью 13,5 м².

а) Обозначьте через $x$ ребро куба и определите функцию площади полной поверхности куба от $x$.

б) Какова длина ребра наибольшего куба, который можно сделать из пластины металла площадью 13,5 м²? Каков объем полученного куба?

в) Пусть требуется изготовить куб объемом $\pi$ м³. Существует ли $x$, чтобы получить такой куб?

Рис. 34

а)

Куб представляет собой многогранник, каждая грань которого является квадратом. Всего у куба 6 одинаковых граней. Пусть длина ребра куба равна $x$. Тогда площадь одной грани куба, будучи площадью квадрата со стороной $x$, равна $x^2$.

Площадь полной поверхности куба $S$ — это сумма площадей всех его шести граней. Следовательно, функция площади полной поверхности куба от длины его ребра $x$ имеет вид:

$S(x) = 6 \cdot x^2$

Ответ: Функция площади полной поверхности куба от $x$: $S(x) = 6x^2$.

б)

По условию, имеется металлическая пластина площадью 13,5 м². Эта площадь пойдет на создание полной поверхности куба. Таким образом, площадь полной поверхности куба $S$ равна 13,5 м².

Используя формулу из пункта а), мы можем найти длину ребра $x$ наибольшего куба, который можно изготовить:

$S(x) = 13,5$

$6x^2 = 13,5$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 = \frac{13,5}{6}$

$x^2 = 2,25$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из 2,25. Так как длина ребра не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительный корень:

$x = \sqrt{2,25} = 1,5$ м.

Теперь найдем объем $V$ полученного куба. Формула объема куба: $V = x^3$.

Подставим найденное значение $x$:

$V = (1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$ м³.

Ответ: Длина ребра наибольшего куба составляет 1,5 м. Объем полученного куба равен 3,375 м³.

в)

Требуется определить, можно ли изготовить куб объемом $\pi$ м³. Объем куба $V$ с ребром $x$ вычисляется по формуле $V = x^3$.

Приравняем объем к заданному значению:

$x^3 = \pi$

Чтобы найти длину ребра $x$, нужно извлечь кубический корень из $\pi$:

$x = \sqrt[3]{\pi}$

Число $\pi$ (пи) является положительным действительным числом (приблизительно 3,14159...). Кубический корень из любого положительного действительного числа также является единственным положительным действительным числом. Следовательно, существует реальная положительная длина ребра $x$, при которой объем куба будет равен $\pi$ м³.

Ответ: Да, существует, так как можно найти действительное положительное значение для длины ребра $x = \sqrt[3]{\pi}$ м, чтобы получить такой куб.