Номер 11, страница 213 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. При тестировании новой модели катера его скорость увеличивали на 20 % через каждую пятую часть пути. Поэтому катер прибыл к конечному пункту на 1 ч раньше, чем если бы он двигался с первоначальной постоянной скоростью. Сколько времени продолжалось тестирование?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – весь путь,
• $v$ – первоначальная скорость катера,
• $T_{пост}$ – время, за которое катер прошел бы весь путь с постоянной первоначальной скоростью,
• $T_{тест}$ – время, за которое катер прошел путь во время тестирования (искомая величина).

Весь путь был разделен на 5 равных участков, длина каждого участка составляет $\frac{S}{5}$.

Если бы катер двигался с постоянной первоначальной скоростью $v$, он бы затратил время:

$T_{пост} = \frac{S}{v}$

Теперь рассчитаем время движения катера во время тестирования, когда его скорость поэтапно увеличивалась. Время прохождения каждого из пяти участков:

• 1-й участок:
  Скорость была первоначальной: $v_1 = v$.
  Время на участке: $t_1 = \frac{S/5}{v} = \frac{S}{5v}$.
• 2-й участок:
  Скорость увеличили на 20%: $v_2 = v \cdot (1 + 0.2) = 1.2v$.
  Время на участке: $t_2 = \frac{S/5}{1.2v} = \frac{S}{6v}$.
• 3-й участок:
  Скорость снова увеличили на 20% от предыдущей: $v_3 = 1.2v_2 = 1.2 \cdot (1.2v) = (1.2)^2v$.
  Время на участке: $t_3 = \frac{S/5}{(1.2)^2v} = \frac{S}{5 \cdot (1.2)^2v}$.
• 4-й участок:
  Скорость опять увеличили на 20%: $v_4 = 1.2v_3 = (1.2)^3v$.
  Время на участке: $t_4 = \frac{S/5}{(1.2)^3v} = \frac{S}{5 \cdot (1.2)^3v}$.
• 5-й участок:
  Последнее увеличение скорости на 20%: $v_5 = 1.2v_4 = (1.2)^4v$.
  Время на участке: $t_5 = \frac{S/5}{(1.2)^4v} = \frac{S}{5 \cdot (1.2)^4v}$.

Общее время тестирования $T_{тест}$ равно сумме времен на всех участках:

$T_{тест} = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5$

$T_{тест} = \frac{S}{5v} + \frac{S}{5 \cdot 1.2v} + \frac{S}{5 \cdot (1.2)^2v} + \frac{S}{5 \cdot (1.2)^3v} + \frac{S}{5 \cdot (1.2)^4v}$

Вынесем общий множитель $\frac{S}{5v}$ за скобки:

$T_{тест} = \frac{S}{5v} \left( 1 + \frac{1}{1.2} + \frac{1}{(1.2)^2} + \frac{1}{(1.2)^3} + \frac{1}{(1.2)^4} \right)$

Выражение в скобках является суммой первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{6/5} = \frac{5}{6}$.

Найдем эту сумму по формуле $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$ для $n=5$:

$S_5 = 1 \cdot \frac{1 - (5/6)^5}{1 - 5/6} = \frac{1 - 3125/7776}{1/6} = 6 \cdot \frac{7776 - 3125}{7776} = 6 \cdot \frac{4651}{7776} = \frac{4651}{1296}$

Подставим значение суммы в выражение для $T_{тест}$:

$T_{тест} = \frac{S}{5v} \cdot \frac{4651}{1296} = \frac{4651 S}{6480v}$

По условию задачи, время тестирования на 1 час меньше, чем время движения с постоянной скоростью:

$T_{пост} - T_{тест} = 1$

Подставим формулы для времени:

$\frac{S}{v} - \frac{4651 S}{6480v} = 1$

Вынесем $\frac{S}{v}$ за скобки:

$\frac{S}{v} \left( 1 - \frac{4651}{6480} \right) = 1$

$\frac{S}{v} \left( \frac{6480 - 4651}{6480} \right) = 1$

$\frac{S}{v} \cdot \frac{1829}{6480} = 1$

Отсюда мы можем найти время $T_{пост} = \frac{S}{v}$:

$T_{пост} = \frac{6480}{1829}$ часов.

Нам нужно найти время тестирования $T_{тест}$. Так как $T_{тест} = T_{пост} - 1$, получаем:

$T_{тест} = \frac{6480}{1829} - 1 = \frac{6480 - 1829}{1829} = \frac{4651}{1829}$ часов.

Можно представить этот результат в виде смешанной дроби для наглядности:

$\frac{4651}{1829} = 2 \frac{993}{1829}$ часов.

Ответ: $\frac{4651}{1829}$ часа (или $2 \frac{993}{1829}$ часа).