Номер 10, страница 213 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Ребята из кружка робототехники устроили соревнования в скорости между созданными ими роботами. 20 роботов выходят на трассу один за другим с интервалом в 1 мин, второй догоняет первого через 2 мин после своего старта, третий догоняет второго через 3 мин и т. д. Верно ли, что двадцатый робот догонит первого через 2 мин после своего старта?

Для решения этой задачи введем переменные и найдем закономерность в скоростях роботов. Пусть $v_n$ — это скорость $n$-го робота, а время будем отсчитывать в минутах от старта первого робота.

1. Найдем соотношение скоростей соседних роботов.

Роботы стартуют с интервалом в 1 минуту. Это значит, что $n$-й робот стартует в момент времени $t_n = n-1$ мин.

По условию, $(k+1)$-й робот догоняет $k$-го робота через $(k+1)$ мин после своего старта. Давайте запишем это в виде уравнений.

• Второй и первый роботы:
  Первый робот стартует в $t_1=0$. Второй робот стартует в $t_2=1$ мин. Второй догоняет первого через 2 мин после своего старта, то есть в момент времени $T_{встречи} = t_2 + 2 = 1 + 2 = 3$ мин. К этому моменту первый робот движется 3 минуты, а второй — 2 минуты. Их пройденные пути равны: $S_1 = v_1 \cdot 3$ $S_2 = v_2 \cdot 2$ $3v_1 = 2v_2 \implies v_2 = \frac{3}{2}v_1$.
• Третий и второй роботы:
  Второй робот стартует в $t_2=1$ мин. Третий робот стартует в $t_3=2$ мин. Третий догоняет второго через 3 мин после своего старта, то есть в момент времени $T_{встречи} = t_3 + 3 = 2 + 3 = 5$ мин. К этому моменту второй робот движется $5 - 1 = 4$ минуты, а третий — 3 минуты. $S_2 = v_2 \cdot 4$ $S_3 = v_3 \cdot 3$ $4v_2 = 3v_3 \implies v_3 = \frac{4}{3}v_2$.

Можно заметить общую закономерность. Робот с номером $n$ догоняет робота с номером $n-1$ через $n$ минут после своего старта. Запишем это для общего случая:Робот $n-1$ стартует в $t_{n-1} = n-2$. Робот $n$ стартует в $t_n = n-1$. Встреча происходит в момент $T_{встречи} = t_n + n = (n-1) + n = 2n-1$ мин. К этому моменту робот $n-1$ движется $T_{встречи} - t_{n-1} = (2n-1) - (n-2) = n+1$ мин. Робот $n$ движется $T_{встречи} - t_n = (2n-1) - (n-1) = n$ мин. Приравнивая их пути: $v_{n-1} \cdot (n+1) = v_n \cdot n$. Отсюда получаем общую формулу для соотношения скоростей: $v_n = v_{n-1} \cdot \frac{n+1}{n}$.

2. Найдем скорость двадцатого робота относительно первого.

Используя полученную рекуррентную формулу, выразим скорость $v_{20}$ через $v_1$:$v_{20} = v_{19} \cdot \frac{21}{20}$$v_{19} = v_{18} \cdot \frac{20}{19}$...$v_3 = v_2 \cdot \frac{4}{3}$$v_2 = v_1 \cdot \frac{3}{2}$

Подставим все выражения друг в друга:$v_{20} = v_1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{20}{19} \cdot \frac{21}{20}$Это телескопическое произведение, в котором большинство членов сокращается (числитель одной дроби с знаменателем следующей):$v_{20} = v_1 \cdot \frac{\cancel{3}}{2} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \dots \cdot \frac{\cancel{20}}{\cancel{19}} \cdot \frac{21}{\cancel{20}}$После сокращения остаются только знаменатель первой дроби и числитель последней:$v_{20} = v_1 \cdot \frac{21}{2}$

3. Проверим утверждение из вопроса.

Вопрос: верно ли, что двадцатый робот догонит первого через 2 мин после своего старта?Первый робот стартует в $t_1=0$. Двадцатый робот стартует в $t_{20}=19$ мин. Если двадцатый догонит первого через 2 мин после своего старта, то это произойдет в момент времени $T_{встречи} = t_{20} + 2 = 19 + 2 = 21$ мин. К этому моменту времени первый робот будет двигаться 21 минуту, а двадцатый — 2 минуты. Путь первого робота: $S_1 = v_1 \cdot 21$. Путь двадцатого робота: $S_{20} = v_{20} \cdot 2$. В момент встречи их пути должны быть равны:$21 \cdot v_1 = 2 \cdot v_{20}$Из этого равенства следует, что соотношение их скоростей должно быть: $v_{20} = v_1 \cdot \frac{21}{2}$.

Этот результат в точности совпадает с соотношением скоростей, которое мы получили в пункте 2 на основе исходных данных. Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.