Номер 3, страница 211 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Одометр автомобиля показывал 12 921 км. Через 2 ч одометр также стал показывать число, которое одинаково читалось в обоих направлениях. Найдите, с какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она была не меньше $60 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$.

По условию задачи, начальное показание одометра было $S_1 = 12921$ км. Автомобиль ехал в течение $t = 2$ часов со скоростью $v$, которая была не меньше $60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, то есть $v \ge 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

За это время автомобиль проехал расстояние $\Delta S = v \cdot t$. Так как скорость была не меньше $60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, минимальное расстояние, которое мог проехать автомобиль, составляет:
$\Delta S_{min} = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.

Следовательно, новое показание одометра, $S_2$, должно быть больше начального как минимум на 120 км. Найдем минимальное значение для нового показания одометра:
$S_2 \ge S_1 + \Delta S_{min} = 12921 + 120 = 13041$ км.

Известно, что новое показание одометра $S_2$ — это число-палиндром, то есть оно читается одинаково в обоих направлениях. Нам необходимо найти наименьшее число-палиндром, которое не меньше 13041.

Будем искать такой палиндром. Он должен быть пятизначным и иметь вид $\overline{abcba}$.

• Поскольку искомое число $S_2 \ge 13041$, его первые две цифры не могут быть меньше 13. Следовательно, $a=1$ и $b=3$. Палиндром должен иметь вид $\overline{13c31}$.
• Теперь подберем наименьшую цифру $c$, при которой условие $\overline{13c31} \ge 13041$ будет выполняться.
• Если $c=0$, получаем число 13031. Это значение не подходит, так как $13031 < 13041$.
• Если $c=1$, получаем число 13131. Это значение подходит, так как $13131 \ge 13041$. Это и есть наименьший палиндром, удовлетворяющий всем условиям.

Таким образом, через 2 часа одометр показывал $S_2 = 13131$ км. Найдем расстояние, которое проехал автомобиль за это время:
$\Delta S = S_2 - S_1 = 13131 - 12921 = 210$ км.

Теперь вычислим скорость автомобиля:
$v = \frac{\Delta S}{t} = \frac{210 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 105 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Проверим, выполняется ли начальное условие для скорости: $105 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \ge 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Условие выполняется.

Ответ: $105 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.